Προβλήματα Μαθηματικών

25 Μαΐου, 2008

Στατιστικά περίεργα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 4:56 μμ

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μεγάλο πληθυσμό ανθρώπων του οποίου θέλουμε να εκτιμήσουμε το μέσο ύψος αλλά και το πόσο αυτό κυμαίνεται μέσα στον πληθυσμό. Λίγο πιο αυστηρά, θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή {\mathbb E}X και τη διασπορά \sigma^2(X) της τυχαίας μεταβλητής X που προκύπτει αν επιλέξουμε ένα τυχαίο άτομο και μετρήσουμε το ύψος του, με όλα τα άτομα εξίσου πιθανά να επιλεγούν.

Ο τρόπος που το κάνουμε είναι να διαλέξουμε N φορές τυχαία (N μεγάλο) ένα άτομο και να μετρήσουμε το ύψος του, έστω x_i, i=1,\ldots,N. Έπειτα εκτιμούμε το μέσο ύψος του πληθυσμού από την ποσότητα

\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i.

Θυμόμαστε τώρα το γενικό ορισμό \sigma^2(X) = {\mathbb E}(X - {\mathbb E}X)^2 και εκτιμούμε ανάλογα τη διασπορά του ύψους από την ποσότητα

\displaystyle S^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2.

Όμως ο στατιστικός φίλος μας, στον οποίο δείχνουμε τη μέθοδό μας, ισχυρίζεται ότι δεν πρέπει να το κάνουμε έτσι αλλά ως εξής:

\displaystyle S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2.

Η αλήθεια είναι ότι αυτές οι δύο ποσότητες ελάχιστα διαφέρουν μεταξύ τους όταν το N είναι μεγάλο. Όμως ποιος έχει δίκιο;

– Το Μηδέν και το Άπειρο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:30 πμ

Έστω X ένας απειροδιάστατος διανυσματικός χώρος επί του \mathbb R. Αυτό σημαίνει ότι ο X έχει μια βάση που αποτελείται από άπειρα στοιχεία (άρα όλες οι βάσεις του έχουν άπειρα στοιχεία). Δείξτε ότι αν

\Lambda_k:X\to\mathbb R, k=1,\dots,n,

είναι μια πεπερασμένη οικογένεια γραμμικών απεικονίσεων, τότε υπάρχει μη μηδενικό x\in X τέτοιο ώστε

\Lambda_k(x)=0

για κάθε k. Αυτό δεν ισχύει αν ο X έχει πεπερασμένη διάσταση. Παράδειγμα:

X=\mathbb R^2, \Lambda_1(x,y)=x, \Lambda_2(x,y)=y.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.