Υπεργεωμετρική

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες και μπλε μπάλες. Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους , και έστω ο αριθμός των κόκκινων μπαλών. Τότε λέμε ότι η ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους και γράφουμε . Αν και , δείξτε ότι .

Δύο άγνωστοι αριθμοί

Κάτω από δύο χαρτάκια είναι γραμμένοι δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, άγνωστοι σε μας.

Διαλέγουμε στην τύχη ένα χαρτάκι, κοιτάμε τον αριθμό που λέει από κάτω, και κερδίζουμε μια καραμέλα αν δηλώσουμε σωστά ότι ο αριθμός που βλέπουμε είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος από τους δύο.

Υπάρχει ένας εύκολος τρόπος να κερδίσουμε την καραμέλα με πιθανότητα 1/2. Ρίχνουμε ένα τίμιο νόμισμα και λέμε «μεγαλύτερος» ή «μικρότερος» ανάλογα με το τι έφερε το νόμισμα, κορώνα ή γράμματα. (Με αυτό τον τρόπο μάλιστα δε λαμβάνουμε καθόλου υπόψιν μας τον αριθμό που είδαμε γραμμένο κάτω από το χαρτάκι που διαλέξαμε.)

Υπάρχει τρόπος να παίξουμε αυτό το παιχνίδι έτσι η πιθανότητα να πάρουμε την καραμέλα να είναι μεγαλύτερη του 1/2;