Προβλήματα Μαθηματικών

30 Μαρτίου, 2011

Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις χωρίς computer

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:29 πμ

Μπορείτε να δείξετε ότι

\displaystyle\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots97\cdot99}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots98\cdot100}<0.2

χωρίς να χρησιμοποιήσετε computer;

27 Μαρτίου, 2011

Αναδρομική ακολουθία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 12:00 πμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Θεωρούμε την αναδρομική ακολουθία x_1=0, x_{n+1}=x_n+e^{-x_n}.
Βρείτε την τάξη μεγέθους τής x_n καθώς n\to+\infty.

10 Μαρτίου, 2011

Μηδέν ή ένα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:24 μμ

Το πρόβλημα αυτό το πρότεινε ο Χρήστος Πελεκης.

Έστω ότι \mu είναι ένα μέτρο πιθανότητας σε κάποιο σύνολο X και T:X\to X μια μετρήσιμη συνάρτηση η οποία διατηρεί το μέτρο, με την έννοια ότι \mu(T^{-1}A)=\mu(A) για κάθε A. Υποθέτουμε ότι για κάθε A,B υπάρχει ένα n_0 τέτοιο ώστε \mu(A\cap T^{-n}B)=\mu(A)\mu(B) για κάθε n\geq n_0. Δηλαδή, κάθε δυο ενδεχόμενα μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα. Δείξτε ότι για κάθε A, είτε \mu(A)=0 ή \mu(A)=1.

Blog στο WordPress.com.