Δύο αδέρφια κληρονομούν ένα κτήμα που έχει μέσα 2ν μηλιές και 2μ πορτοκαλιές. Μπορούν να το χωρίσουν με μια ευθεία έτσι ώστε ο καθένας να πάρει ακριβώς ν μηλιές και μ πορτοκαλιές;
24 Μαΐου, 2009
17 Μαΐου, 2009
Πάμε στοίχημα;
Οι τελικοί των play-off του πρωταθλήματος μπάσκετ πλησιάζουν και εσείς αποφασίζετε να βάλετε στοίχημα με δυο φίλους σας, έναν οπαδό του Παναθηναϊκού κι έναν του Ολυμπιακού.
16 Μαΐου, 2009
Δύο γυναίκες, δύο άνδρες
Στις κορυφές Α, B, C, D ενός τετραγώνου με πλευρά 10m βρίσκονται δύο άνδρες (στις θέσεις A, C) και δύο γυναίκες (στις θέσεις B, D). Την ίδια στιγμή όλοι αρχίζουν να κινούνται προς το μέλος του άλλου φύλου που βρίσκεται στην επόμενη κορυφή δεξιόστροφα, δηλ. ο A προς την B, η B προς τον C, ο C προς την D και η D προς τον A. Σε κάθε χρονική στιγμή το κάθε άτομο κινείται απ’ ευθείας προς τον στόχο του και όλοι κινούνται με την ίδια ταχύτητα.
Πόσο συνολικά μήκος θα καλύψει το κάθε άτομο μέχρι που να βρει το στόχο του;
14 Μαΐου, 2009
Μιγαδικά πολυώνυμα
Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση;
13 Μαΐου, 2009
Αδύνατη παρεμβολή
Γνωρίζουμε ότι αν μας δώσουν διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς και πραγματικές τιμές τότε μπορούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ
το οποίο παρεμβάλει τις τιμές στα σημεία :
.
Ένας άλλος τρόπος να πούμε το ίδιο πράγμα είναι ότι πάντα (για κάθε , διαφορετικά) μπορούμε να βρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων
που παίρνει τις τιμές στα .
Δείξτε ότι αυτό δεν είναι δυνατό στο επίπεδο: για δεν υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε σημεία και κάθε τιμές να υπάρχει γραμμικός συνδυασμός
που να παρεμβάλει: για .
9 Μαΐου, 2009
Μονομαχία
Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.
Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;
8 Μαΐου, 2009
Τρίγωνα
Δείξτε ότι κάθε υποσύνολο τού επιπέδου με άπειρο εμβαδό περιέχει τις κορυφές κάποιου τριγώνου με εμβαδό 1.
7 Μαΐου, 2009
Μονά-ζυγά
Το παρακάτω πρόβλημα προτάθηκε από το Δημήτρη Χριστοφίδη:
Να βρεθεί το μέγιστο ώστε να υπάρχουν σύνολα τέτοια ώστε
- το κάθε ένα από αυτά να έχει περιττό μέγεθος, και
- η τομή οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών από αυτά να έχει άρτιο μέγεθος.
Κανονικά πολύγωνα
Οι κορυφές ενός κανονικού -γώνου χρωματίζονται με διάφορα χρώματα με τρόπο τέτοιο ώστε για κάθε ένα από τα χρώματα που χρησιμοποιήθηκαν, έστω το χρώμα , το σύνολο των κορυφών που είναι βαμμένες με το χρώμα είναι επίσης ένα κανονικό πολύγωνο το οποίο συμβολίζουμε με .
Δείξτε ότι υπάρχουν δύο χρώματα και τέτοια ώστε τα πολύγωνα είναι το ένα στροφή του άλλου (ισοδύναμα, έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών).
Πρέπει να έχετε συνδεθεί για να σχολιάσετε.