Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 24, 2009

Μηλιές και πορτοκαλιές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 10:52 πμ

Δύο αδέρφια κληρονομούν ένα κτήμα που έχει μέσα 2ν μηλιές και 2μ πορτοκαλιές. Μπορούν να το χωρίσουν με μια ευθεία έτσι ώστε ο καθένας να πάρει ακριβώς ν μηλιές και μ πορτοκαλιές;

Μαΐου 17, 2009

Πάμε στοίχημα;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:51 μμ

Οι τελικοί των play-off του πρωταθλήματος μπάσκετ πλησιάζουν και εσείς αποφασίζετε να βάλετε στοίχημα με δυο φίλους σας, έναν οπαδό του Παναθηναϊκού κι έναν του Ολυμπιακού.

olympiakos-panathinaikos-cup-final

(more…)

Μαΐου 16, 2009

Δύο γυναίκες, δύο άνδρες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 8:05 πμ

Στις κορυφές Α, B, C, D ενός τετραγώνου με πλευρά 10m βρίσκονται δύο άνδρες (στις θέσεις A, C) και δύο γυναίκες (στις θέσεις B, D). Την ίδια στιγμή όλοι αρχίζουν να κινούνται προς το μέλος του άλλου φύλου που βρίσκεται στην επόμενη κορυφή δεξιόστροφα, δηλ. ο A προς την B, η B προς τον C, ο C προς την D και η D προς τον A. Σε κάθε χρονική στιγμή το κάθε άτομο κινείται απ’ ευθείας προς τον στόχο του και όλοι κινούνται με την ίδια ταχύτητα.

Πόσο συνολικά μήκος θα καλύψει το κάθε άτομο μέχρι που να βρει το στόχο του;

Μαΐου 14, 2009

Μιγαδικά πολυώνυμα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:11 πμ

Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση;

Μαΐου 13, 2009

Αδύνατη παρεμβολή

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:01 πμ

Γνωρίζουμε ότι αν μας δώσουν n διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς x_1,\ldots,x_n και n πραγματικές τιμές v_1,\ldots,v_n τότε μπορούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

p(x) = \lambda_0 + \lambda_1 x + \cdots + \lambda_{n-1} x^{n-1}

το οποίο παρεμβάλει τις τιμές v_i στα σημεία x_i:

p(x_i) = v_i,\ \ i=1,2,\ldots,n.

Ένας άλλος τρόπος να πούμε το ίδιο πράγμα είναι ότι πάντα (για κάθε x_i, v_i, x_i διαφορετικά) μπορούμε να βρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων

u_1(x)=1, u_2(x)=x, u_3(x)=x^2, \ldots, u_n(x)=x^{n-1}

που παίρνει τις τιμές v_i στα x_i.

Δείξτε ότι αυτό δεν είναι δυνατό στο επίπεδο: για n \ge 2 δεν υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις u_1, \ldots, u_n:{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R} τέτοιες ώστε για κάθε n σημεία x_1,\ldots,x_n \in {\mathbb R}^2 και κάθε n τιμές v_1, \ldots, v_n \in {\mathbb R} να υπάρχει γραμμικός συνδυασμός

F(x) = \lambda_1 u_1(x) + \cdots + \lambda_n u_n(x)

που να παρεμβάλει: F(x_i) = v_i για i=1, 2, \ldots, n.

Μαΐου 9, 2009

Μονομαχία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:01 πμ

Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.

duel_Bloch

Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;

Μαΐου 8, 2009

Τρίγωνα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:41 πμ

Δείξτε ότι κάθε υποσύνολο τού επιπέδου με άπειρο εμβαδό περιέχει τις κορυφές κάποιου τριγώνου με εμβαδό 1.

Μαΐου 7, 2009

Μονά-ζυγά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:10 μμ

Το παρακάτω πρόβλημα προτάθηκε από το Δημήτρη Χριστοφίδη:

Να βρεθεί το μέγιστο n ώστε να υπάρχουν σύνολα A_1,\ldots,A_n \subseteq \{1,2,\ldots,2009\} τέτοια ώστε

  • το κάθε ένα από αυτά να έχει περιττό μέγεθος, και
  • η τομή οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών από αυτά να έχει άρτιο μέγεθος.

Κανονικά πολύγωνα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:10 πμ

Οι κορυφές ενός κανονικού N-γώνου χρωματίζονται με διάφορα χρώματα με τρόπο τέτοιο ώστε για κάθε ένα από τα χρώματα που χρησιμοποιήθηκαν, έστω το χρώμα \chi, το σύνολο των κορυφών που είναι βαμμένες με το χρώμα \chi είναι επίσης ένα κανονικό πολύγωνο το οποίο συμβολίζουμε με P(\chi).

Δείξτε ότι υπάρχουν δύο χρώματα \chi και \psi τέτοια ώστε τα πολύγωνα P(\chi), P(\psi) είναι το ένα στροφή του άλλου (ισοδύναμα, έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών).

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: