Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 27, 2011

Σύνολα ακεραίων με διαφορετικά αθροίσματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:40 μμ

Ένα σύνολο φυσικών αριθμών A ονομάζεται σύνολο τύπου B_2 αν όλα τα αθροίσματα

a+b, με a, b \in A, a\le b

είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα το σύνολο των δυνάμεων του 2 είναι τέτοιο σύνολο.

Έστω n φυσικός αριθμός. Υπάρχει ή όχι σύνολο A τύπου B_2 που το σύνολο των αθροισμάτων του

A+A = \{ a+b:\ a,b \in A\}

να περιέχει n διαδοχικούς ακεραίους;

Advertisements

Φεβρουαρίου 23, 2011

Ακέραιες δυνάμεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:13 μμ

Δείξτε ότι ανάμεσα σε κάθε δυο θετικούς πραγματικούς υπάρχει ένας αριθμός τής μορφής 2^n\cdot3^m, όπου n,m\in\mathbb Z.

Φεβρουαρίου 5, 2011

Ξένη ένωση

Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με τα σχόλια (8) και (9) τού προηγούμενου.
Μπορείτε να γράψετε το \mathbb R σαν υπεραριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο υπεραριθμήσιμων συνόλων;

Φεβρουαρίου 4, 2011

Πιθανότητες, ευθείες, σημεία και γωνίες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:26 μμ

Έστω ότι στο επίπεδο μπορούμε να επιλέξουμε σχήματα με κάποια πιθανότητα. Δηλαδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα τού \mathbb R^2. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο είναι μηδέν. Δείξτε ότι υπάρχει \theta έτσι ώστε η πιθανότητα να επιλέξουμε οποιαδήποτε ευθεία η οποία κάνει γωνία \theta με τον άξονα x, είναι μηδέν.

Φεβρουαρίου 3, 2011

Δυο ολοκληρώματα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:20 μμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.
Αν a,b>0, δείξτε ότι
\displaystyle\int\limits_0^{\infty}\left(\cos x^a-\cos x^b\right)\frac{dx}x=\frac{a-b}{ab}\int\limits_0^{\infty}\left(\frac1{1+x^2}-\cos x\right)\frac{dx}x.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: