Οι εφτά νάνοι

Ένα ακόμη πρόβλημα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και καθένας έχει μια κούπα. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, αν η συνολική ποσότητα είναι ουγγιές;

Εκλογικές αντιφάσεις

Σε ένα ελληνικό Πανεπιστήμιο έγιναν πρόσφατα, μετά πολλών βασάνων, οι εκλογές για το Συμβούλιο Διοίκησης, με το νέο, για την Ελλάδα, σύστημα της ταξινομικής ψήφου. Με αυτό το σύστημα οι εκλογείς ψηφίζουν διατάσσοντας τους υποψηφίους γραμμικά (1η προτίμηση, 2η κλπ).

Μετά την εκλογή του Συμβουλίου η Εφορευτική Επιτροπή δημοσιεύει κάποια στατιστικά στοιχεία για τους ψήφους που κατατέθηκαν με σκοπό να ενημερώσει το εκλογικό σώμα σεβόμενη ταυτόχρονα τη νομιμότητα που επιβάλλει το κρυφό της ψήφου του καθενός. Τότε όμως διαπιστώνεται το εξής παράδοξο: οι τρεις συνολικά υποψήφιοι Α, Β, και Γ είχαν μεταξύ τους τις εξής διαφορές προτιμήσεων:

• Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Α από τον Β (δηλ. κατέταξαν τον Α σε υψηλότερη θέση),
• Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Β από τον Γ, και,
• παρ’ όλ’ αυτά, τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Γ από τον Α!

Μετά από αυτή τη συνταρακτική διαπίστωση οι ορκισμένοι αντίπαλοι του νέου τρόπου διοίκησης των Πανεπιστημίων στην Ελλάδα ετοιμάζονται να προσφύγουν στο Συμβούλιο Επικρατείας ισχυριζόμενοι ότι υπήρξε αλλοίωση των αποτελεσμάτων και ότι δεν είναι δυνατό να ισχύουν τα παραπάνω τρία συγκεντρωτικά στοιχεία καθότι είναι μεταξύ τους αντιφατικά.

Είναι;

Ρητές αποστάσεις

Υπάρχει σημείο τού επιπέδου το οποίο να απέχει ρητές αποστάσεις και από τις 4 κορυφές τού μοναδιαίου τετραγώνου; Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από πρωτοετείς φοιτητές τού Πανεπιστημίου Κρήτης.