Σ’ ένα καπέλο βρίσκονται Ν χαρτάκια. Κάθε χαρτάκι έχει πάνω του γραμμένο έναν (διαφορετικό) αριθμό. Ο σκοπός μας είναι να διαλέξουμε το χαρτάκι με το μεγαλύτερο αριθμό. Δεν μπορούμε όμως να τα δούμε όλα και μετά να διαλέξουμε. Κάθε φορά τραβάμε ένα χαρτάκι, βλέπουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω του και αποφασίζουμε αν θα διαλέξουμε αυτό το χαρτάκι ή όχι. Αν το διαλέξουμε κερδίζουμε ή χάνουμε ανάλογα με το αν το χαρτάκι αυτό έχει ή όχι το μεγαλύτερο αριθμό από όλα τα χαρτάκια που ήταν αρχικά στο καπέλο. Αν το απορρίψουμε τραβάμε ένα καινούργιο χαρτάκι, αλλά δεν μπορούμε ποτέ να επιστρέψουμε σ’ αυτό που απορρίψαμε, κ.ο.κ. Αν εξαντλήσουμε όλα τα χαρτάκια αναγκαστικά «παίζουμε» με το τελευταίο χαρτάκι που έχει μείνει στο καπέλο.
Μπορούμε να διαλέξουμε το πρώτο χαρτάκι που θα τραβήξουμε, και τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/Ν, που τείνει όμως στο 0 καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Για αρχή βρείτε μια στρατηγική που μας εξασφαλίζει ότι κερδίζουμε με πιθανότητα τουλάχιστον p, όπου p>0 και δεν εξαρτάται από το Ν.
λέγεται μεμονωμένο σημείο του 
αν υπάρχει 
τέτοιο ώστε
.
σε κάποιο σημείο 
ορίζεται να είναι το
είναι συνεχής και ας εξασθενίσουμε την 
: Υποθέτουμε ότι το
-ψήφιους αριθμούς (στο δεκαδικό σύστημα) και τους προσθέτουμε. Έστω 
το πλήθος των κρατουμένων που μεταφέραμε κατά την πρόσθεση. Τι συμβαίνει στο 
καθώς 
. Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημεία του δοσμένου συνόλου;
. Δείξτε ότι![\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cbig%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%2B%5Cbig%5B%5Cfrac%7B2p%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%2B%5Ccdots%2B%5Cbig%5B%5Cfrac%7B%28q-1%29p%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%3D%5Cfrac%7B%28p-1%29%28q-1%29%7D%7B2%7D.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.")
φτιαγμένο από ένα υλικό με πυκνότητα 
. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια έδρα πάνω στην οποία το πολύεδρο ισορροπεί (δηλαδή αν ακουμπήσουμε την έδρα αυτή σ’ ένα οριζόντιο επίπεδο τότε η προβολή του κέντρου βάρους του πολυέδρου σε αυτό το επίπεδο βρίσκεται μέσα στην έδρα αυτή.) 
είναι ένα πολυώνυμο, βαθμού 
σε κάθε μεταβλητή, και 
είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.
ομοιόμορφα και ανεξάρτητα από το 
. Δείξτε ότι
.
είναι ένας πρώτος αριθμός, δείξτε ότι κάθε συνάρτηση
.
. Ο 
είναι το άθροισμα των ψηφίων του 
το άθροισμα των ψηφίων του 
