Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 29, 2008

Το πρόβλημα του γάμου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:00 μμ

Σ’ ένα καπέλο βρίσκονται Ν χαρτάκια. Κάθε χαρτάκι έχει πάνω του γραμμένο έναν (διαφορετικό) αριθμό. Ο σκοπός μας είναι να διαλέξουμε το χαρτάκι με το μεγαλύτερο αριθμό. Δεν μπορούμε όμως να τα δούμε όλα και μετά να διαλέξουμε. Κάθε φορά τραβάμε ένα χαρτάκι, βλέπουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω του και αποφασίζουμε αν θα διαλέξουμε αυτό το χαρτάκι ή όχι. Αν το διαλέξουμε κερδίζουμε ή χάνουμε ανάλογα με το αν το χαρτάκι αυτό έχει ή όχι το μεγαλύτερο αριθμό από όλα τα χαρτάκια που ήταν αρχικά στο καπέλο. Αν το απορρίψουμε τραβάμε ένα καινούργιο χαρτάκι, αλλά δεν μπορούμε ποτέ να επιστρέψουμε σ’ αυτό που απορρίψαμε, κ.ο.κ. Αν εξαντλήσουμε όλα τα χαρτάκια αναγκαστικά «παίζουμε» με το τελευταίο χαρτάκι που έχει μείνει στο καπέλο. 

Μπορούμε να διαλέξουμε το πρώτο χαρτάκι που θα τραβήξουμε, και τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/Ν, που τείνει όμως στο 0 καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Για αρχή βρείτε μια στρατηγική που μας εξασφαλίζει ότι κερδίζουμε με πιθανότητα τουλάχιστον p, όπου p>0 και δεν εξαρτάται από το Ν. 

 

Τέλεια σύνολα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 10:00 μμ

Ένα υποσύνολο της ευθείας λέγεται «τέλειο» αν είναι κλειστό και δεν έχει μεμονωμένα σημεία. Δείξτε ότι ένα τέλειο σύνολο δεν μπορεί να είναι αριθμήσιμο. Χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα αυτό για να απαντήσετε στην «Αφύσικη διάσπαση«.

Αν το έχετε ξεχάσει, ένα x_0\in A λέγεται μεμονωμένο σημείο του A αν υπάρχει \varepsilon>0 τέτοιο ώστε

A\cap(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)=\{x_0\}.

Ιουνίου 25, 2008

«Ασθενής» παράγωγος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 6:31 μμ

Όπως ξέρουμε, η παράγωγος μιας f:\mathbb R\to\mathbb R σε κάποιο σημείο x_0 ορίζεται να είναι το

(*)\ \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

αν φυσικά υπάρχει. Ας πούμε τώρα ότι ξέρουμε ότι η f είναι συνεχής και ας εξασθενίσουμε την (*) : Υποθέτουμε ότι το

\displaystyle\lim_{q\in\mathbb Q,\ q\to0}\frac{f(x_0+q)-f(x_0)}{q}

υπάρχει. Μπορείτε να συμπεράνετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0;

Πολλά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:40 μμ

Ας πούμε ότι η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια τυχούσα συνάρτηση. Είναι δυνατό το σύνολο των γνήσιων τοπικών ακρότατων της f να είναι υπεραριθμήσιμο;

Κρατούμενα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 12:41 πμ

Επιλέγουμε τυχαία δύο N-ψήφιους αριθμούς (στο δεκαδικό σύστημα) και τους προσθέτουμε. Έστω A_N το πλήθος των κρατουμένων που μεταφέραμε κατά την πρόσθεση. Τι συμβαίνει στο A_N/N καθώς N\to\infty ;

Ιουνίου 21, 2008

Ισορροπία πέντε ίσων δυνάμεων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 10:25 μμ

Για προθέρμανση δείξτε ότι τρεις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, ενώ τέσσερις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ορθογωνίου ή της μορφής (ζ,ζ-ζ,-ζ). Βρείτε τώρα όλους τους δυνατούς τρόπους ώστε πέντε μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 να έχουν άθροισμα μηδέν.

Ιουνίου 17, 2008

Κινούμενα κενά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:52 μμ

Στην παραπάνω εικόνα βλέπετε ένα συνηθισμένο τύπο puzzle. Στο κενό τετραγωνάκι μπορεί κάθε φορά να μετακινηθεί ένα οποιοδήποτε από τα γειτονικά του τετράγωνα.

Δείξτε ότι είναι αδύνατο, ξεκινώντας από την κατάσταση που βλέπετε στην εικόνα, να φτάσετε μετά από κάποιες κινήσεις στην ίδια κατάσταση εκτός από τα τετράγωνα με αριθμούς 1 και 2 που θα είναι μεταξύ τους αλλαγμένα.

Ιουνίου 14, 2008

Προδιαγεγραμμένες ασυνέχειες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:52 μμ

Σας δίνεται ένα κλειστό υποσύνολο του \mathbb R. Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημεία του δοσμένου συνόλου;

Μια ταυτότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 7:09 μμ

Θεωρήστε δύο σχετικά πρώτους φυσικούς αριθμούς p,q. Δείξτε ότι

\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.

Ιουνίου 11, 2008

Ευσταθής ισορροπία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 10:38 πμ

Θεωρήστε ένα κυρτό πολύεδρο στον \mathbb{R}^3 φτιαγμένο από ένα υλικό με πυκνότητα \rho(x). Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια έδρα πάνω στην οποία το πολύεδρο ισορροπεί (δηλαδή αν ακουμπήσουμε την έδρα αυτή σ’ ένα οριζόντιο επίπεδο τότε η προβολή του κέντρου βάρους του πολυέδρου σε αυτό το επίπεδο βρίσκεται μέσα στην έδρα αυτή.) 

Ιουνίου 9, 2008

Δαγκωμένη σκακιέρα

Από μια συνηθισμένη 8×8 σκακιέρα έχουμε αφαιρέσει την πάνω αριστερά και την κάτω δεξιά γωνία (απομένουν δηλ. 62 τετράγωνα). Μπορείτε να καλύψετε αυτή τη σκακιέρα με ντόμινα (ζεύγη δηλ. από τετράγωνα που έχουν μια κοινή πλευρά) που όμως δεν επιτρέπεται να αλληλοεπικαλύπτονται;

Ιουνίου 8, 2008

Θερινό Σχολείο Μαθηματικών 2008, Ηράκλειο

Filed under: Γενικά Σχόλια — Mihalis Kolountzakis @ 10:40 μμ

Διαφημείστε το Θερινό Σχολείο Μαθηματικών βάζοντας τον HTML κώδικα που βλέπετε εδώ στη σελίδα σας.

Ιουνίου 6, 2008

Ρίζες στην τύχη

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:15 μμ

Έστω ότι f(x_1,\ldots,x_n) είναι ένα πολυώνυμο, βαθμού \le d σε κάθε μεταβλητή, και S \subseteq {\mathbb R} είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.

Επιλέγουμε τους τυχαίους αριθμούς X_1,\ldots,X_n \in S ομοιόμορφα και ανεξάρτητα από το S. Δείξτε ότι

\displaystyle {\mathbb Pr}(f(X_1,\ldots,X_n) = 0) \le \frac{d}{|S|}.

Ιουνίου 5, 2008

Αφύσικη Διάσπαση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 2:28 μμ

Μπορείτε να διασπάσετε μια ευθεία σε ξένα ανά δύο ευθύγραμμα τμήματα;

Ιουνίου 4, 2008

Παιδιά και κορίτσια

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 7:55 πμ

Σε μια χώρα ο κόσμος προτιμάει να κάνει αγόρια παρά κορίτσια. Πρόκειται για μια πειθαρχημένη χώρα κι έτσι όλοι ακολουθούν τον ακόλουθο κανόνα: κάνουν παιδιά μέχρι να κάνουν αγόρι, οπότε και σταματάνε. Πώς πιστεύετε ότι θα διαμορφωθεί η αναλογία αγοριών/κοριτσιών μακροπρόθεσμα;

Υποθέσεις: Σε κάθε γέννα γεννιέται ένα παιδί, με ίση πιθανότητα αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από άλλες γέννες. Η οικογενειακή κατάσταση είναι στατική: υποθέστε ότι ο πληθυσμός αποτελείται από Ν ζευγάρια που ζουν επ΄ άπειρον. Τα παιδιά τους δε γεννάνε.

Ιουνίου 2, 2008

Τα πάντα είναι πολυώνυμα mod p

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:52 μμ

Αν p είναι ένας πρώτος αριθμός, δείξτε ότι κάθε συνάρτηση

f:\{0,1,\ldots,p-1\} \to \{0,1,\ldots,p-1\}

μπορεί να παρασταθεί από ένα πολυώνυμο p(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_{p-1}x^{p-1} \bmod p.

Ιουνίου 1, 2008

Το κουτί και το κουτάκι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:21 μμ

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο περιέχεται μέσα σ’ ένα άλλο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Τα δύο παραλληλεπίπεδα δεν είναι κατ’ ανάγκη παράλληλα μεταξύ τους.

Δείξτε ότι το άθροισμα των διαστάσεων του μέσα (μήκος + πλάτος + ύψος) είναι μικρότερο από το άθροισμα διαστάσεων του έξω.

Μια πολύ μεγάλη πρόσθεση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:29 μμ

Έστω \displaystyle A=4444^{4444}. Ο B είναι το άθροισμα των ψηφίων του A (στο δεκαδικό σύστημα), και ο \Gamma το άθροισμα των ψηφίων του B. Ποιό είναι το άθροισμα των ψηφίων του \Gamma;

Ασφάλεια επικοινωνιών χαμηλής τεχνολογίας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:35 πμ

box

Ο Α θέλει να στείλει στον Β ένα αντικείμενο το οποίο δε θέλει να δει κανείς άλλος.

Οι δύο είναι μακριά ο ένας από τον άλλο και μπορούν μόνο να επικοινωνούν ταχυδρομικώς. Ο ταχυδρόμος δεν είναι κάποιος που μπορούν να εμπιστευθούν όμως, άρα το αντικείμενο πρέπει κάπως να ταξιδέψει κλειδωμένο. Ο Α έχει ένα κουτί και βάζει μέσα το αντικείμενο, όμως δε μπορεί απλά να κλειδώσει το κουτί γιατί ο Β δεν έχει το κλειδί για να το ανοίξει. Αν στείλει το κλειδί χωριστά ο ταχδυρόμος μπορεί να το αντιγράψει, οπότε έχει ξανά το ίδιο πρόβλημα, όπου τώρα το αντικείμενο που θέλει να στείλει είναι το κλειδί.

Επίσης δε θέλει, για άλλους λόγους, να στείλει το κλειδί του σε κανένα άλλο (η αναλογία κλειδί=password μπορεί κάπως να εξηγήσει τον αφύσικο αυτό περιορισμό).

Πώς μπορεί ο Α να στείλει το αντικείμενο στον Β; Ο καθένας τους έχει τα λουκέτα του και τα κλειδιά του μόνο.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: