Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 28, 2010

Επουσιώδης ανωμαλία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:51 πμ

Έστω f:\mathbb D\smallsetminus\{0\}\to\mathbb C μια αναλυτική συνάρτηση (\mathbb D είναι ο ανοιχτός μοναδιαίος δίσκος), τέτοια ώστε \displaystyle \iint\limits_{\mathbb D\smallsetminus\{0\}}|f(x+iy)|^2\, dxdy<+\infty. Δείξτε ότι το \displaystyle \lim_{z\to0}f(z) υπάρχει.

Απρίλιος 24, 2010

Τριγωνομετρική σειρά

Έστω ότι για κάποια ακολουθία a_n\geq0, η συνάρτηση f:\mathbb R\to\mathbb R, με f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n|\sin nx| είναι καλά ορισμένη (δηλαδή η σειρά συγκλίνει για κάθε x). Δείξτε ότι η f είναι συνεχής.

Διαγώνισμα πολλαπλής επιλογής

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 7:45 μμ

Ένα διαγώνισμα αποτελείται από n ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Κάθε ερώτηση έχει 5 δυνατές απαντήσεις από τις οποίες μόνο μια είναι σωστή. Αν κάποιος απαντήσει σωστά μια ερώτηση παίρνει 1 μονάδα, ενώ αν απαντήσει λάθος χάνει 0,25 μονάδες. Ο διαγωνιζόμενος θεωρείται ότι πέτυχε στο διαγώνισμα αν πάρει συνολικά τουλάχιστον 0,5 n μονάδες.

Βρείτε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα να πετύχει κάποιος που απαντά όλες τις ερωτήσεις στην τύχη.

Απρίλιος 21, 2010

Μόνο για μαζοχιστές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 9:59 μμ

Υπολογίστε το όριο

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}^2\frac{1}{k}.

Απρίλιος 20, 2010

Βρείτε το λάθος (αν υπάρχει)

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:48 μμ

Η συνάρτηση f(z)=z^{\sqrt 2} είναι αναλυτική στο σύνολο \Omega=\mathbb C\smallsetminus(-\infty,0].
Επίσης, f(e^{2k\pi i/\sqrt2})=e^{2k\pi i}=1 για κάθε k\in\mathbb Z. Αλλά το σύνολο \{e^{2k\pi i/\sqrt2}:k\in\mathbb Z\} είναι πυκνό στον μοναδιαίο κύκλο, άρα έχει σημεία συσσώρευσης στο \Omega. Έτσι, από αρχή ταυτότητας, f=1 στο \Omega.

Απρίλιος 12, 2010

Τραπουλόχαρτα σε σωρούς

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:59 πμ

Παίρνουμε μια συνηθισμένη τράπουλα (52 φύλλα σε 13 είδη, από 4 κάθε είδος), την ανακατεύουμε και την μοιράζουμε σε 13 σωρούς των 4 φύλλων.

Είναι πάντα δυνατό ή όχι να επιλέξουμε ένα φύλλο από κάθε σωρό ώστε στο τέλος να έχουμε ένα φύλλο από κάθε είδος;

Απρίλιος 8, 2010

Ένα κλασικό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:47 μμ

Έστω f:(0,+\infty)\to\mathbb R δυο φορές παραγωγίσιμη. Θέτουμε A να είναι το supremum τής |f|, B να είναι το supremum τής |f'| και C να είναι το supremum τής |f''|. Δείξτε, αν δεν το ξέρετε, ότι B^2\leq 4AC.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: