Ομοιόμορφο στρώσιμο

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση (αυστηρά θετική παντού) τέτοια ώστε

, για κάθε ;

Καμπυλόγραμμα τρίγωνα

(Την άσκηση αυτή πρότεινε ο Βασίλης Βισκαδουράκης) Τρεις κύκλοι στο επίπεδο τέμνονται όπως στο παρακάτω σχήμα. Δείξτε ότι οι τρεις ευθείες ΑΑ’, ΒΒ’, CC’ που ορίζουν τα σημεία τομής κάθε ζευγαριού κύκλων συντρέχουν, και ότι όλα τα καμπυλόγραμμα τρίγωνα που σχηματίζονται έχουν άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 2 ορθές.

Μπορείτε να αλλάξετε τη σχετική θέση των τριών κύκλων, έτσι ώστε όλα τα καμπυλόγραμμα τρίγωνα που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα γωνιών μικρότερο από δύο ορθές;