Προβλήματα Μαθηματικών

Αυγούστου 19, 2010

Ατέλειωτος περίπατος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 2:27 μμ

Στις κορυφές του \mathbb{Z}^2 τοποθετούμε με πιθανότητα p μια μπαταρία, ανεξάρτητα για διαφορετικές κορυφές. Ένα ρομπότ ξεκινά από την αρχή των αξόνων με μια μπαταρία που επαρκεί για να διανύσει απόσταση ακριβώς 1, και ένα χάρτη με τις κορυφές όπου υπάρχει μπαταρία. Αν στην κορυφή που θα μεταβεί βρει μια μπαταρία μπορεί να συνεχίσει τον περίπατό του για ακόμα ένα βήμα. Δείξτε ότι υπάρχει ένα p_*>0, τέτοιο ώστε αν p<p_* ο περίπατος του ρομπότ θα τελειώσει σε πεπερασμένο χρόνο με πιθανότητα 1.

Αυγούστου 17, 2010

Πτώση μέχρι καταστροφής

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:00 μμ

Μια εταιρεία παραγωγής μαγικών ειδών σας ζητάει να εκτιμήσετε την ποιότητα της νέας γυάλινης σφαίρας που έχει κατασκευάσει, και ειδικότερα σας ζητάει να αποφασίσετε από ποιον όροφο του 36-όροφου κτηρίου της πρέπει να πέσει για να σπάσει.

Για το σκοπό αυτό σας διαθέτει ακριβώς δύο πανομοιότυπες γυάλινες σφαίρες.

Εσείς πρέπει λοιπόν να αποφασίσετε ποιο είναι το ελάχιστο n\ge 1 τέτοιο ώστε αν η γυάλινη σφαίρα πέσει από τον n-οστό όροφο σπάει αλλά αν πέσει από τον (n-1)-όροφο τότε δε σπάει.

Ένας προφανής τρόπος να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μάλιστα μόνο τη μια σφαίρα είναι να ανεβαίνετε τους ορόφους έναν-έναν και από κάθε όροφο να ρίχνετε τη σφαίρα μέχρι να σπάσει.

Όμως αυτός ο όροφος παίρνει εν γένει πολλές δοκιμές.

Προσπαθείστε να το κάνετε με όσο λιγότερες δοκιμές μπορείτε.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: