Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτωβρίου 7, 2010

Συνεχής παράγωγος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:56 πμ

Δείξτε ότι η παράγωγος κάθε παραγωγίσιμης συνάρτησης έχει τουλάχιστον δέκα σημεία συνέχειας.

Οκτωβρίου 6, 2010

Άπειρα πολλαπλάσια

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:05 μμ

Για κάθε ανοιχτό σύνολο πραγματικών αριθμών που δεν είναι φραγμένο δείξτε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός που άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο σύνολο.

Οκτωβρίου 4, 2010

Αποδείξτε το προφανές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:00 πμ

Σε ένα N\times N πίνακα από κουκίδες όλες οι κουκίδες είναι αρχικά ενωμένες με τις 4 γειτονικές τους με ακμές (εκτός από αυτές που είναι στα σύνορα οι οποίες ενώνονται με λιγότερες). Για κάθε μια από τις ακμές που υπάρχουν στην αρχή ρίχνουμε ανεξάρτητα ένα νόμισμα που έρχεται κορώνα με πιθανότητα p, ίδια για όλες τις ακμές, και αν το νόμισμα έρθει γράμματα σβήνουμε την ακμή.

Θεωρείστε το ενδεχόμενο E μετά από τις διαγραφές ακμών να υπάρχει μονοπάτι που ξεκινάει από κάποια κουκίδα της αριστερής μεριάς και καταλήγει σε κάποια κουκίδα της δεξιάς μεριάς του πίνακα (το μονοπάτι αποτελείται από ακμές που δε σβήστηκαν).

Αποδείξτε ότι η πιθανότητα του E είναι αύξουσα συνάρτηση του p.

Οκτωβρίου 3, 2010

Πολύεδρα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:50 μμ

Δείξτε ότι κάθε πολύεδρο στον τριδιάστατο χώρο έχει δύο έδρες με τον ίδιο αριθμό ακμών.

Καμπύλη αυτο-ορθογώνια

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:29 πμ

Έστω X ο χώρος όλων των μιγαδικών ακολουθιών a=(a_1, a_2, \ldots) που ικανοποιούν \sum_n |a_n|^2 < \infty. Ο χώρος X είναι εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο \langle a,b \rangle = \sum_n a_n \overline{b_n} το οποίο ορίζει τη νόρμα \|a\| = \sqrt{\sum_n |a_n|^2} που χρησιμεύει ως μετρική στο χώρο.

Φτιάξτε μια συνεχή καμπύλη \gamma:[0,1]\to X τέτοια ώστε αν a<b<c<d είναι σημεία του [0,1] τότε τα \gamma(b)-\gamma(a) και \gamma(d)-\gamma(c) είναι ορθογώνια (έχουν δηλ. εσωτερικό γινόμενο 0).

Οκτωβρίου 1, 2010

Εναλλαγή ορίου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:10 μμ

Θεωρήστε μια ακολουθία από κυρτές συναρτήσεις f_n:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} που συγκλίνει σημειακά στην f. Αν οι f_n και f είναι παραγωγίσιμες στο x_0\in\mathbb{R}, δείξτε ότι f_n^{'}(x_0)\to f^{'}(x_0).

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: