Δείξτε ότι η παράγωγος κάθε παραγωγίσιμης συνάρτησης έχει τουλάχιστον δέκα σημεία συνέχειας.
7 Οκτωβρίου, 2010
6 Οκτωβρίου, 2010
Άπειρα πολλαπλάσια
Για κάθε ανοιχτό σύνολο πραγματικών αριθμών που δεν είναι φραγμένο δείξτε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός που άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο σύνολο.
4 Οκτωβρίου, 2010
Αποδείξτε το προφανές
Σε ένα πίνακα από κουκίδες όλες οι κουκίδες είναι αρχικά ενωμένες με τις 4 γειτονικές τους με ακμές (εκτός από αυτές που είναι στα σύνορα οι οποίες ενώνονται με λιγότερες). Για κάθε μια από τις ακμές που υπάρχουν στην αρχή ρίχνουμε ανεξάρτητα ένα νόμισμα που έρχεται κορώνα με πιθανότητα , ίδια για όλες τις ακμές, και αν το νόμισμα έρθει γράμματα σβήνουμε την ακμή.
Θεωρείστε το ενδεχόμενο μετά από τις διαγραφές ακμών να υπάρχει μονοπάτι που ξεκινάει από κάποια κουκίδα της αριστερής μεριάς και καταλήγει σε κάποια κουκίδα της δεξιάς μεριάς του πίνακα (το μονοπάτι αποτελείται από ακμές που δε σβήστηκαν).
Αποδείξτε ότι η πιθανότητα του είναι αύξουσα συνάρτηση του .
3 Οκτωβρίου, 2010
Καμπύλη αυτο-ορθογώνια
Έστω ο χώρος όλων των μιγαδικών ακολουθιών που ικανοποιούν . Ο χώρος είναι εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο το οποίο ορίζει τη νόρμα που χρησιμεύει ως μετρική στο χώρο.
Φτιάξτε μια συνεχή καμπύλη τέτοια ώστε αν είναι σημεία του τότε τα και είναι ορθογώνια (έχουν δηλ. εσωτερικό γινόμενο 0).
1 Οκτωβρίου, 2010
Εναλλαγή ορίου
Θεωρήστε μια ακολουθία από κυρτές συναρτήσεις που συγκλίνει σημειακά στην . Αν οι και είναι παραγωγίσιμες στο , δείξτε ότι .
Πρέπει να έχετε συνδεθεί για να σχολιάσετε.