Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 24, 2009

Τομές συνόλων όλες ίδιες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:04 μμ

Έστω {1 \le k \le n} και σύνολα A_1,\ldots,A_m \subseteq \{1,2,\ldots,n\} με την ιδιότητα ότι

|A_i \cap A_j| = k για κάθε i \neq j.

Τότε m \le n.

Advertisements

Ιουλίου 21, 2009

Τομές συνόλων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:03 πμ

Ας είναι A_j \subseteq X,\ j=1,2,\ldots,N, κάποια σύνολα μεγέθους k το καθένα, τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε k+1 από τα σύνολα A_j είναι μη κενή.

Τότε και η τομή όλων των A_j είναι μη κενή.

Ιουλίου 14, 2009

Ταχέως φθίνουσα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:12 μμ

Έστω \varphi:\mathbb R\to\mathbb R μια απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση με συμπαγή φορέα. Δείξτε ότι η ακολουθία
\displaystyle t_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\cos(nx)\, dx
τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα από κάθε δύναμη. Δηλαδή, για κάθε a>0 υπάρχει μια σταθερά C_{\varphi,a}>0 τέτοια ώστε
\displaystyle |t_n|\leq\frac{C_{\varphi,a}}{n^a}
για κάθε n.

Ιουλίου 13, 2009

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:03 πμ

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων A \subseteq {\mathbb R}^n είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

A = \{x \in {\mathbb R}^n: f_i(x) = 0, \forall i=1,2,\ldots,k\}

όπου τα f_i(x) είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές x=(x_1,\ldots,x_n).

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο {\mathbb R}^3 περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

x^2+y^2+z^2-1 = 0,\ x+y+z = 0.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα A, B \subseteq {\mathbb R}^n περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

A \cup B

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή A \cap B περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: