Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 24, 2019

Υπεργεωμετρική

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:47 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Ένα δοχείο περιέχει A κόκκινες και N-A μπλε μπάλες. Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n, και έστω X ο αριθμός των κόκκινων μπαλών. Τότε λέμε ότι η X ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους N, A, n και γράφουμε X\sim\text{Hyp}(N,A,n). Αν X\sim\text{Hyp}(N,A,n) και \mathbb E(X)=1, δείξτε ότι \mathbb P(X=1)\geq\mathbb P(X\geq2).

Οκτώβριος 4, 2019

Δύο άγνωστοι αριθμοί

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:50 πμ

two-numbers

Κάτω από δύο χαρτάκια είναι γραμμένοι δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, άγνωστοι σε μας.

Διαλέγουμε στην τύχη ένα χαρτάκι, κοιτάμε τον αριθμό που λέει από κάτω, και κερδίζουμε μια καραμέλα αν δηλώσουμε σωστά ότι ο αριθμός που βλέπουμε είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος από τους δύο.

Υπάρχει ένας εύκολος τρόπος να κερδίσουμε την καραμέλα με πιθανότητα 1/2. Ρίχνουμε ένα τίμιο νόμισμα και λέμε «μεγαλύτερος» ή «μικρότερος» ανάλογα με το τι έφερε το νόμισμα, κορώνα ή γράμματα. (Με αυτό τον τρόπο μάλιστα δε λαμβάνουμε καθόλου υπόψιν μας τον αριθμό που είδαμε γραμμένο κάτω από το χαρτάκι που διαλέξαμε.)

Υπάρχει τρόπος να παίξουμε αυτό το παιχνίδι έτσι η πιθανότητα να πάρουμε την καραμέλα να είναι μεγαλύτερη του 1/2;

Σεπτεμβρίου 28, 2019

Δίδυμοι πρώτοι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:36 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης

 

Αποδείξτε πως όταν πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε δύο δίδυμους πρώτους (εκτός από μία περίπτωση), το αποτέλεσμα είναι πάντα αριθμός που δίνει υπόλοιπο 8 μετά από διαίρεση με το 9.

Μαΐου 10, 2019

Αναδρομική ακολουθία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:34 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Αν s_0=4, s_1=6, και s_{i+1}=is_i+s_{i-1},  τότε μκδ(s_{i+1},s_{i})=2 και υπάρχει σταθερά C>0 ώστε s_i<Ci! για κάθε i.

Φεβρουαρίου 9, 2019

Διάσπαση ακολουθίας

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:03 μμ

To πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Λέμε ότι μια ακολουθία φυσικών a_n χωρίς άσους επιδέχεται διχοτόμηση αν υπάρχει κάποια άλλη ακολουθία (φυσικών) b_n τέτοια ώστε a_n=b_n+c_n, όπου c_n αναδιάταξη τής b_n. Πότε μια ακολουθία τριών όρων επιδέχεται διχοτόμηση;

Δεκέμβριος 16, 2018

Breakeven

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:44 πμ

 

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Η Alice και ο Bob παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Πριν ξεκινήσουν, ο Bob καταβάλλει στην Alice το ποσό των \delta USD. Στη συνέχεια, η Alice διαλέγει κρυφά ένα υποσύνολο A\subset[0,1] με μέτρο a\in(0,1), και ο Bob διαλέγει επίσης κρυφά n σημεία \{x_1,\dots,x_n\}\subset[0,1]. Μετά οι παίκτες αποκαλύπτουν τις επολογές τους, και η Alice καταβάλλει στον Bob το ποσό |\{k:x_k\in A\}| USD. Ποια τιμή τού \delta κάνει το παιχνίδι δίκαιο;

Οκτώβριος 12, 2018

Απλά γραφήματα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:52 μμ

Την άσκηση (η οποία οφείλεται στον Adolph Winkler Goodman) προτείνει ο Κ. Κουρουζίδης.

Έστω G ένα απλό γράφημα (χωρίς loops και περισσότερες από μια ακμές που να συνδέουν οποιεσδήποτε δύο κορυφές) με n κορυφές.
Έστω t(G) ο συνολικός αριθμός τριγώνων στο G και στο \overline G (το γράφημα που είναι το συμπλήρωμα του G) μαζί.
Αποδείξτε ότι: t(G)=\binom{n}{3}-(n-2)e(G)+\sum_{v\in V(G)}\binom{d(v)}{2},
όπου:
e(G) είναι το πλήθος των ακμών.
V(G) είναι το σύνολο των κορυφών του G.
v είναι η εκάστοτε κορυφή.
d(v) είναι ο βαθμός της εκάστοτε κορυφής.

 

Υπόδειξη: Αναλογιστείτε την συνεισφορά σε κάθε ακμή από κάθε τριάδα κορυφών.

 

Αύγουστος 30, 2018

Μια ταυτότητα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:00 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Χρησιμοποιώντας πλήρη γραφήματα και βασικές αρχές απαρίθμησης αποδείξτε ότι

\displaystyle{\binom{n}{2}=\binom{k}{2}+k(n-k)+\binom{n-k}{2}}

για k\leq n.

 

Ιουλίου 26, 2018

Μήκος γραφήματος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:14 μμ

Δείξτε ότι το μήκος τού γραφήματος μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης από το [0,1] στο [0,1] είναι το πολύ 2, και ότι το φράγμα αυτό «πιάνεται» από κάποια συνάρτηση. Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα για το μήκος τού γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης από το [0,1] στο [0,1];

Οκτώβριος 12, 2017

Υπερκύβος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:40 μμ

Tο πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Ο mδιάστατος υπερκύβος Q_m είναι το γράφημα με σύνολο κομβών όλα τα δυαδικά διανύσματα μήκους m. Δύο κόμβοι είναι συνδεδεμένοι με ακμή ακριβώς όταν διαφέρουν σε μία θέση οι συντεταγμένες τους. Ο γράφος ορίζεται αναδρομικά, αν πάρουμε δύο αντίτυπα μιας διάστασης μικρότερης (δηλαδή δύο Q_{m-1}), θέσουμε την πρώτη συντεταγμένη του ενός αντιτύπου να είναι 0 και του δεύτερου 1, και ακολούθως ενώσουμε τις αντίστοιχες κορυφές. Θα μπορούσαμε όμως αυτό να το κάναμε με οποιαδήποτε άλλη από τη πρώτη συντεταγμένη, έτσι έχουμε συνολικά 2m υποκύβους μιας διάστασης μικρότερης (Υποκύβος ονομάζεται οποιοσδήποτε υπερκύβος μικρότερης διάστασης που είναι υπογράφημα στο Q_m ).

Στο Q_m υπάρχουν υποκύβοι Q_j όλων των διαστάσεων, για 1\leq j\leq m . Πόσοι είναι αυτοί για κάθε j; Αν αθροίσουμε τις ακμές όλων των υποκύβων από j=1 έως m, ποιό είναι το αποτέλεσμα;

Υποόδειξη: Υπολογίστε το ζητούμενο άθροισμα με τον προφανή τρόπο, αφού βρείτε πρώτα το πλήθος των υποκύβων διάστασης j , και πόσες ακμές έχει οποιοδήποτε από τα Q_j. Ακολούθως εκφράστε ξανά το ζητούμενο άθροισμα, αναλογιζόμενοι το πόσες φορές προσμετράται μια οποιαδήποτε ακμή, χρησιμοποιώντας ένα συμμετρικό επιχείρημα. Απλοποιήστε. Τί παρατηρείτε;

 

Αύγουστος 28, 2017

Μπορείτε να σκοτώσετε τον ψύλλο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:19 μμ

flea-jumping

Πάνω στο επίπεδο {\mathbb R}^2 βρίσκεται ένας ψύλλος, ο οποίος είναι περιορισμένος να ζει και να κινείται πάνω στο σύνολο των ακεραίων σημείων του επιπέδου {\mathbb Z}^2. Τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στο σημείο (0,0) και από κει και πέρα κινείται σε κάθε δευτερόλεπτο πηδώντας πάντα κατά το ίδιο διάνυσμα.

Με άλλα λόγια ο ψύλλος κινείται πάνω σε μια ευθεία και μάλιστα πάνω στα ακέραια σημεία της ευθείας αυτής, με σταθερή ταχύτητα. Για παράδειγμα θα μπορούσε σε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να πηδάει κατά το διάνυσμα

v=(2,3).

Ο ψύλλος αυτός σας ενοχλεί και θέλετε να τον σκοτώσετε. Μπορείτε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να χτυπάτε ένα από τα ακέραια σημεία του επιπέδου με την ελπίδα ότι ο ψύλλος βρίσκεται τότε εκεί και θα τον σκοτώσετε.

Δε βλέπετε όμως πού είναι ο ψύλλος (παρά μόνο αφού τον σκοτώσετε) ούτε ξέρετε ποιο είναι το διάνυσμα κίνησης του ψύλλου v.

Μπορείτε να ακολουθήσετε μια μέθοδο χτυπημάτων που θα είναι σίγουρο ότι θα πετύχει τον ψύλλο αργά η γρήγορα; (Τη χρονική στιγμή 0 δε μπορείτε να χτυπήσετε. Αρχίζετε τη χρονική στιγμή 1.)

Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Miklos Laczkovich.

Ιανουαρίου 26, 2017

Κοντά στη μετάθεση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:01 μμ

Αν f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια συνάρτηση, για t\in\mathbb R θέτουμε f_t(x)=f(x-t) (η μετάθεση). Αν η f είναι ολοκληρώσιμη και για κάποιο \theta>1 έχουμε \|f-f_t\|_1\leq|t|^{\theta} για όλα τα t, τότε f=0 σχεδόν παντού. Τι συμβαίνει αν \theta=1;

Ιουνίου 30, 2016

Γινόμενα Borel

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:38 μμ

Αν ο X είναι ένας μετρικός χώρος με \mathcal B(X) συμβολίζουμε τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel και με \mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X) τη σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα ορθογώνια A\times B όπου τα A,B είναι Borel υποσύνολα τού X. Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι

\mathcal B(\mathbb R\times \mathbb R)=\mathcal B(\mathbb R)\otimes\mathcal B(\mathbb R).

Ισχύει το ίδιο με ένα αυθαίρετο μετρικό χώρο στη θέση τού \mathbb R;

Ορθοκανονικό σύνολο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:13 πμ

Ας είναι S ένα ορθοκανονικό υποσύνολο τού L^2([0,1]) το οποίο αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις. Θέτουμε Y=\overline{\langle S \rangle}, όπου \langle\cdot\rangle είναι η γραμμική θήκη. Δείξτε ότι αν υπάρχει σταθερά C>0 τέτοια ώστε

\displaystyle{\sup_{f\in Y,\ f\ne0}\frac{\|f\|_\infty}{\|f\|_2}\leq C}, τότε ο Y έχει πεπερασμένη διάσταση.

Σχεδόν αύξουσα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:58 πμ

Ας είναι f:\mathbb R\to\mathbb R μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε n\in\mathbb N ισχύει ότι f(x+\frac1n)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x. Δείξτε ότι για κάθε a\geq0 έχουμε ότι f(x+a)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x.

Σειρά μεταθέσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:48 πμ

Αν η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι ολοκληρώσιμη, τότε η σειρά

\displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt n}f\left(x-\sqrt n\right)}

συγκλίνει για σχεδόν όλα τα x.

Μαρτίου 7, 2016

Argument

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:16 μμ

Αν 0<p<1 και u>0, βρείτε μια εκτίμηση για το όρισμα τού μιγαδικού αριθμού

\displaystyle{pe^{-iu\sqrt{\frac{1-p}{p}}}+(1-p)e^{iu\sqrt{\frac{p}{1-p}}}}

Ιανουαρίου 1, 2016

Ροπές και διαμερίσεις

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:35 μμ

Το ερώτημα θέτει ο Κ. Κουρουζίδης. Η ροπή  2n τάξης τής τυποποιημένης κανονικής κατανομής είναι ίση με το πλήθος των διαμερίσεων σε 2-σύνολα ενός συνόλου με 2n στοιχεία. Είναι αυτό μια αριθμητική σύμπτωση;

 

Σεπτεμβρίου 8, 2015

Η περίοδος του αθροίσματος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:19 μμ

Ας είναι f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους ακεραίους. Ένας φυσικός αριθμός T>0 λέγεται περίοδος της f αν f(x+T) = f(x),\ \ \forall x \in {\mathbb Z}. Αν υπάρχει τέτοιο T τότε η f λέγεται περιοδική. Έυκολα βλέπει κανείς ότι η ελάχιστη περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης διαιρεί κάθε άλλη περίοδο και ότι κάθε πολλαπλάσιο περιόδου είναι κι αυτό περίοδος.

Αν είναι a, b>0 δύο φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και f, g δυο συναρτήσεις επί των ακεραίων με ελάχιστη περίοδο a και b αντίστοιχα δείξτε ότι η συνάρτηση f+g είναι επίσης περιοδική και μάλιστα με ελάχιστη περίοδο το ab. (Η έμφαση είναι στο «ελάχιστη».)

Τι λέτε για την ελάχιστη περίοδο της f+g αν οι a,b δεν είναι μεταξύ τους πρώτοι;

Ιουλίου 22, 2015

Στο πνεύμα των ημερών.

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:27 μμ

Στο μακάβριο πνεύμα των σχολίων της προηγούμενης ανάρτησης, Ν στρατιώτες πυροβολούν Ν κατάδικους. 1. Κάθε στρατιώτης πυροβολεί ακριβώς ένα κατάδικο και είναι 100% εύστοχος. 2. Κανένας κατάδικος δεν πυροβολείται από περισσότερους από ένα στρατιώτη (εκτός από τον Herr Schäuble που θέλει ομοβροντία). Ποια η πιθανότητα k στρατιώτες να πυροβολήσουν τους κατάδικους που είναι απέναντι τους; Και για να το καταλάβει και ο μπακάλης της γειτονιάς, ποια η πιθανότητα μια τυχαία μετάθεση να έχει k σταθερά σημεία;

Επόμενη σελίδα: »

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: