Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 12, 2017

Υπερκύβος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:40 μμ

Tο πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Ο mδιάστατος υπερκύβος Q_m είναι το γράφημα με σύνολο κομβών όλα τα δυαδικά διανύσματα μήκους m. Δύο κόμβοι είναι συνδεδεμένοι με ακμή ακριβώς όταν διαφέρουν σε μία θέση οι συντεταγμένες τους. Ο γράφος ορίζεται αναδρομικά, αν πάρουμε δύο αντίτυπα μιας διάστασης μικρότερης (δηλαδή δύο Q_{m-1}), θέσουμε την πρώτη συντεταγμένη του ενός αντιτύπου να είναι 0 και του δεύτερου 1, και ακολούθως ενώσουμε τις αντίστοιχες κορυφές. Θα μπορούσαμε όμως αυτό να το κάναμε με οποιαδήποτε άλλη από τη πρώτη συντεταγμένη, έτσι έχουμε συνολικά 2m υποκύβους μιας διάστασης μικρότερης (Υποκύβος ονομάζεται οποιοσδήποτε υπερκύβος μικρότερης διάστασης που είναι υπογράφημα στο Q_m ).

Στο Q_m υπάρχουν υποκύβοι Q_j όλων των διαστάσεων, για 1\leq j\leq m . Πόσοι είναι αυτοί για κάθε j; Αν αθροίσουμε τις ακμές όλων των υποκύβων από j=1 έως m, ποιό είναι το αποτέλεσμα;

Υποόδειξη: Υπολογίστε το ζητούμενο άθροισμα με τον προφανή τρόπο, αφού βρείτε πρώτα το πλήθος των υποκύβων διάστασης j , και πόσες ακμές έχει οποιοδήποτε από τα Q_j. Ακολούθως εκφράστε ξανά το ζητούμενο άθροισμα, αναλογιζόμενοι το πόσες φορές προσμετράται μια οποιαδήποτε ακμή, χρησιμοποιώντας ένα συμμετρικό επιχείρημα. Απλοποιήστε. Τί παρατηρείτε;

 

Advertisements

Αύγουστος 28, 2017

Μπορείτε να σκοτώσετε τον ψύλλο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:19 μμ

flea-jumping

Πάνω στο επίπεδο {\mathbb R}^2 βρίσκεται ένας ψύλλος, ο οποίος είναι περιορισμένος να ζει και να κινείται πάνω στο σύνολο των ακεραίων σημείων του επιπέδου {\mathbb Z}^2. Τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στο σημείο (0,0) και από κει και πέρα κινείται σε κάθε δευτερόλεπτο πηδώντας πάντα κατά το ίδιο διάνυσμα.

Με άλλα λόγια ο ψύλλος κινείται πάνω σε μια ευθεία και μάλιστα πάνω στα ακέραια σημεία της ευθείας αυτής, με σταθερή ταχύτητα. Για παράδειγμα θα μπορούσε σε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να πηδάει κατά το διάνυσμα

v=(2,3).

Ο ψύλλος αυτός σας ενοχλεί και θέλετε να τον σκοτώσετε. Μπορείτε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να χτυπάτε ένα από τα ακέραια σημεία του επιπέδου με την ελπίδα ότι ο ψύλλος βρίσκεται τότε εκεί και θα τον σκοτώσετε.

Δε βλέπετε όμως πού είναι ο ψύλλος (παρά μόνο αφού τον σκοτώσετε) ούτε ξέρετε ποιο είναι το διάνυσμα κίνησης του ψύλλου v.

Μπορείτε να ακολουθήσετε μια μέθοδο χτυπημάτων που θα είναι σίγουρο ότι θα πετύχει τον ψύλλο αργά η γρήγορα; (Τη χρονική στιγμή 0 δε μπορείτε να χτυπήσετε. Αρχίζετε τη χρονική στιγμή 1.)

Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Miklos Laczkovich.

Ιανουαρίου 26, 2017

Κοντά στη μετάθεση

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:01 μμ

Αν f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια συνάρτηση, για t\in\mathbb R θέτουμε f_t(x)=f(x-t) (η μετάθεση). Αν η f είναι ολοκληρώσιμη και για κάποιο \theta>1 έχουμε \|f-f_t\|_1\leq|t|^{\theta} για όλα τα t, τότε f=0 σχεδόν παντού. Τι συμβαίνει αν \theta=1;

Ιουνίου 30, 2016

Γινόμενα Borel

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:38 μμ

Αν ο X είναι ένας μετρικός χώρος με \mathcal B(X) συμβολίζουμε τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel και με \mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X) τη σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα ορθογώνια A\times B όπου τα A,B είναι Borel υποσύνολα τού X. Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι

\mathcal B(\mathbb R\times \mathbb R)=\mathcal B(\mathbb R)\otimes\mathcal B(\mathbb R).

Ισχύει το ίδιο με ένα αυθαίρετο μετρικό χώρο στη θέση τού \mathbb R;

Ορθοκανονικό σύνολο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:13 πμ

Ας είναι S ένα ορθοκανονικό υποσύνολο τού L^2([0,1]) το οποίο αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις. Θέτουμε Y=\overline{\langle S \rangle}, όπου \langle\cdot\rangle είναι η γραμμική θήκη. Δείξτε ότι αν υπάρχει σταθερά C>0 τέτοια ώστε

\displaystyle{\sup_{f\in Y,\ f\ne0}\frac{\|f\|_\infty}{\|f\|_2}\leq C}, τότε ο Y έχει πεπερασμένη διάσταση.

Σχεδόν αύξουσα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:58 πμ

Ας είναι f:\mathbb R\to\mathbb R μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε n\in\mathbb N ισχύει ότι f(x+\frac1n)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x. Δείξτε ότι για κάθε a\geq0 έχουμε ότι f(x+a)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x.

Σειρά μεταθέσεων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:48 πμ

Αν η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι ολοκληρώσιμη, τότε η σειρά

\displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt n}f\left(x-\sqrt n\right)}

συγκλίνει για σχεδόν όλα τα x.

Μαρτίου 7, 2016

Argument

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:16 μμ

Αν 0<p<1 και u>0, βρείτε μια εκτίμηση για το όρισμα τού μιγαδικού αριθμού

\displaystyle{pe^{-iu\sqrt{\frac{1-p}{p}}}+(1-p)e^{iu\sqrt{\frac{p}{1-p}}}}

Ιανουαρίου 1, 2016

Ροπές και διαμερίσεις

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:35 μμ

Το ερώτημα θέτει ο Κ. Κουρουζίδης. Η ροπή  2n τάξης τής τυποποιημένης κανονικής κατανομής είναι ίση με το πλήθος των διαμερίσεων σε 2-σύνολα ενός συνόλου με 2n στοιχεία. Είναι αυτό μια αριθμητική σύμπτωση;

 

Σεπτεμβρίου 8, 2015

Η περίοδος του αθροίσματος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:19 μμ

Ας είναι f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους ακεραίους. Ένας φυσικός αριθμός T>0 λέγεται περίοδος της f αν f(x+T) = f(x),\ \ \forall x \in {\mathbb Z}. Αν υπάρχει τέτοιο T τότε η f λέγεται περιοδική. Έυκολα βλέπει κανείς ότι η ελάχιστη περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης διαιρεί κάθε άλλη περίοδο και ότι κάθε πολλαπλάσιο περιόδου είναι κι αυτό περίοδος.

Αν είναι a, b>0 δύο φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και f, g δυο συναρτήσεις επί των ακεραίων με ελάχιστη περίοδο a και b αντίστοιχα δείξτε ότι η συνάρτηση f+g είναι επίσης περιοδική και μάλιστα με ελάχιστη περίοδο το ab. (Η έμφαση είναι στο «ελάχιστη».)

Τι λέτε για την ελάχιστη περίοδο της f+g αν οι a,b δεν είναι μεταξύ τους πρώτοι;

Ιουλίου 22, 2015

Στο πνεύμα των ημερών.

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:27 μμ

Στο μακάβριο πνεύμα των σχολίων της προηγούμενης ανάρτησης, Ν στρατιώτες πυροβολούν Ν κατάδικους. 1. Κάθε στρατιώτης πυροβολεί ακριβώς ένα κατάδικο και είναι 100% εύστοχος. 2. Κανένας κατάδικος δεν πυροβολείται από περισσότερους από ένα στρατιώτη (εκτός από τον Herr Schäuble που θέλει ομοβροντία). Ποια η πιθανότητα k στρατιώτες να πυροβολήσουν τους κατάδικους που είναι απέναντι τους; Και για να το καταλάβει και ο μπακάλης της γειτονιάς, ποια η πιθανότητα μια τυχαία μετάθεση να έχει k σταθερά σημεία;

Ιουλίου 20, 2015

Επί

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:46 μμ

Έστω A και B δυο πεπερασμένα σύνολα με το B να έχει το πολύ τόσα στοιχεία όσα και το A. Διαλέγουμε στην τύχη μια συνάρτηση από το A στο B. Ποια η πιθανότητα να είναι επί;

Ασύμμετρα σύνολα

Ένα ακόμα πρόβλημα από τον Κωνσταντίνο Κουρουζίδη

Για κάθε δυαδικό διάνυσμα x\in\{0,1\}^n θέτουμε \hat x να είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες \hat x(j)=1-x(j). Ένα σύνολο δυαδικών διανυσμάτων A λέγεται ασύμμετρο αν x\in A\Rightarrow \hat x\notin A. Πόσα ασύμμετρα σύνολα υπάρχουν;

Ιουλίου 4, 2015

Συμμετρική κατάσταση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:50 μμ

y

Γνωρίζουμε πολύ καλά ότι αν e_1=(1,0), e_2=(0,1) είναι τα συνηθισμένα διανύσματα βάσης στο επίιπεδο {\mathbb R}^2 τότε κάθε διάνυσμα v\in{\mathbb R}^2 μπορεί να γραφεί ως:

v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \langle v, e_2 \rangle e_2.

Μπορεί δηλ. να γραφεί το v ως γραμμικός συνδυασμός των e_1, e_2 όπου οι συντελεστές είναι απλά τα εσωτερικά γινόμενα με τα διανύσματα αυτά. Το ίδιο φυσικά ισχύει αν στη θέση των e_1, e_2 βάλουμε δύο οποιαδήποτε ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του επιπέδου με μέτρο 1.

Αν \phi_1 = (\sqrt{2/3}, 0) και \phi_2, \phi_3 είναι οι περιστροφές του \phi_1 κατά \pm\frac{2\pi}{3} αντίστοιχα (όπως φαίνονται στο σχήμα παραπάνω), δείξτε ότι και για τα \phi_1, \phi_2, \phi_3 ισχύει ότι κάθε διάνυσμα v\in{\mathbb R}^2 μπορεί να γραφεί ως:

v = \sum_{j=1}^3 \langle v, \phi_j \rangle \phi_j.

Ιουλίου 1, 2015

Εδώ ο κόσμος χάνεται…

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:44 μμ

… και εμείς υπολογίζουμε αθροίσματα!!!     Αν οι αριθμοί x_1,x_2,\dots,x_n έχουν άθροισμα μηδέν και είναι όλοι απόλυτα φραγμένοι από μια θετική σταθερά c, τότε υπάρχει αναδιάταξη x_1=x_{k_1},x_{k_2},\dots,x_{k_n} τέτοια ώστε  \displaystyle\left|\sum_{j\leq i} x_{k_j}\right|\leq c για κάθε i. Το πρόβλημα πρότεινε ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Ιουνίου 30, 2015

Πόσο μπορεί να επηρεάσει το νόμισμα;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:46 μμ

greek-euro    drachma

Δύο φίλοι, ο Β και ο S, παίζουν ένα παιχνίδι με κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο έχει τα δικά του κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο ρίχνει όλα τα κέρματά του (μια φορά) και κερδίζει όποιος έφερε τις περισσότερες κορώνες.

Ο Β πιστεύει ότι έχοντας περισσότερα κέρματα στα χέρια του θα καταφέρει πιο εύκολα να κερδίσει τον S. Έτσι επιλέγει ένα φθηνότερο νόμισμα το οποίο του επιτρέπει έχει περισσότερα κέρματα από τον S. Όντας όμως φτωχότερος από τον S ο Β καταφέρνει να έχει μόνο ένα κέρμα παραπάνω από τον S.

Πόσο επηρεάζεται η πιθανότητα να κερδίσει ο Β τον S από το γεγονός ότι έχει ένα κέρμα παραπάνω;

Ιουνίου 28, 2015

Πάντα θετικό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:59 μμ

positive

Δείξτε ότι το πολυώνυμο

p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!}

είναι πάντα θετικό (για κάθε x\in{\mathbb R}, n=1, 2, \ldots).

Ιουνίου 26, 2015

Χαοτικός χρωματισμός

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:35 μμ

colored-row

Έχουμε 1000 κουτιά στη σειρά (στις θέσεις 1, 2, 3, … , 1000).

Δείξτε ότι μπορούμε να τα βάψουμε με δύο χρώματα, π.χ. κόκκινα ή μπλε, με τέτοιο τρόπο ώστε να μην υπάρχει αριθμητική πρόοδος μήκους 20 από κουτιά που να είναι όλα το ίδιο χρώμα.

Ιουνίου 21, 2015

Αλυσίδα υποσυνόλων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:54 μμ

Μια οικογένεια συνόλων την ονομάζουμε αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο σύνολα της οικογένειας είναι συγκρίσιμα, περιέχει δηλ. το πρώτο σύνολο το δεύτερο ή το δεύτερο περιέχει το πρώτο.

nested

Πόσα σύνολα μπορεί να περιέχει μια αλυσίδα υποσυνόλων ενός άπειρου συνόλου; Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει άπειρο σύνολο κάθε αλυσίδα του οποίου να είναι αριθμήσιμη;

Ιουνίου 19, 2015

Μπάλες σε χρωματιστά κουτιά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:05 πμ

f

Έχουμε n αριθμημένες μπάλες (n>2) και κάμποσα, επίσης αριθμημένα, χρωματιστά κουτιά, κάποια από τα οποία είναι βαμμένα κόκκινα, κάποια μπλε και κάποια είναι άβαφα (υπάρχουν και από τα τρία είδη κουτιών).

Ας είναι A το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούν αυτές οι μπάλες να τοποθετηθούν αποκλειστικά στα άβαφα κουτιά και B το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούν αυτές οι μπάλες να τοποθτηθούν σε κουτιά που είναι όλα του ίδιου χρώματος (κόκκινου ή μπλε).

Δείξτε ότι πάντα A \neq B.

Επόμενη σελίδα: »

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: