Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 27, 2010

Πόσες διαφορετικές αποστάσεις;

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:00 μμ

Έστω E ένα σύνολο από N σημεία στο επίπεδο και D(E) το σύνολο των αποστάσεων που αυτά ορίζουν:

D(E) = \{ |x-y|:\ x, y \in E\}

όπου |(u_1, u_2)|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} παριστάνει το Ευκλείδιο μέτρο ενός διανύσματος.

Δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά C>0 (που δεν εξαρτάται από το N δηλαδή) ώστε να ισχύει

|D(E)| \ge C \sqrt{N}.

(Με |\cdot| συμβολίζουμε το μέγεθος ενός συνόλου.)

Advertisements

Νοέμβριος 21, 2010

Αποστάσεις ανάμεσα σε σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:12 μμ

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν 4 σημεία στο επίπεδο που ανά δύο να έχουν Ευκλείδια απόσταση που να είναι περιττός ακέραιος.

(Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Μπάμπη Τσουρακάκη.)

Νοέμβριος 10, 2010

Άθροισμα αντιστρόφων ΕΚΠ

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:30 μμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.
Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί a_0<a_1<a_2<\cdots<a_n. Δείξτε ότι

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{[a_k,a_{k+1}]}\leq1-\frac1{2^n},

όπου [a_k,a_{k+1}] είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των a_k και a_{k+1}.

Νοέμβριος 7, 2010

Παράγωγος και μέση ταλάντωση

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:28 μμ

Για μια αναλυτική (=ολόμορφη=παραγωγίσιμη) συνάρτηση f στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο \mathbb D\subset\mathbb C, δείξτε ότι οι παρακάτω δυο ιδιότητες είναι ισοδύναμες:

(1) Υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε \displaystyle\left|\frac{df (z)}{dz}\right|\leq C/(1-|z|) για κάθε z\in\mathbb D.
(2) Υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε \displaystyle\frac1{r^2}\iint\limits_{D(z,r)}|f(x+iy)-f(z)|\, dxdy\leq C για κάθε υποδίσκο D(z,r)\subset\mathbb D.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: