Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 25, 2011

Στοίχημα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 6:46 μμ

Ένας φοιτητής έχει 1 ευρώ και χρειάζεται να συγκεντρώσει 1000 ευρώ για να πάει διακοπές. Αποφασίζει να στοιχηματίσει παίζοντας κορώνα-γράμματα με ένα τίμιο νόμισμα, όπου σε κάθε γύρο θα διπλασιάζει το ποντάρισμά του αν προβλέψει σωστά το αποτέλεσμα του στριψίματος  και θα χάνει το ποντάρισμά του αν προβλέψει λάθος. Έχει αποφασίσει να παίζει μέχρι είτε να χάσει όλα του τα χρήματα είτε να συγκεντρώσει τα 1000 ευρώ. Μπορεί σε κάθε γύρο να στοιχηματίσει οποιοδήποτε ακέραιο ποσό σε ευρώ που δεν ξεπερνά την τρέχουσα περιουσία του, αλλά αναρωτιέται αν υπάρχει στρατηγική που θα μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να φτάσει τα 1000 ευρώ. Δείξτε ότι η πιθανότητα αυτή είναι το πολύ 1/1000 και βρείτε μια στρατηγική που του εξασφαλίζει αυτήν την πιθανότητα.

Απριλίου 13, 2011

Απλή αναλογική

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:53 μμ

Σε μια χώρα η κοινοβουλευτική εκπροσώπηση των κομμάτων μετά από εθνικές εκλογές καθορίζεται από το σύστημα της απλής αναλογικής. Συγκεκριμένα, αν υπάρχουν N θέσεις στο κοινοβούλιο το πλήθος των εδρών που καταλαμβάνει κάθε κόμμα καθορίζεται ως εξής: αν το ποσοστό του κόμματος x στις εκλογές είναι p_x το κόμμα αυτό καταλαμβάνει σε πρώτη φάση [p_xN] έδρες. Έτσι δεν μοιράζονται όλες οι έδρες παρά μόνο αν p_xN\in\mathbb{N} για κάθε x. Οι έδρες που περισσεύουν κατανέμονται στα κόμματα με το μεγαλύτερο υπόλοιπο p_xN-[p_xN]. Είναι ο αριθμός των εδρών που καταλαμβάνει ένα κόμμα αύξουσα συνάρτηση του συνολικού πλήθους των εδρών N;

Απριλίου 11, 2011

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:58 πμ

Υπάρχει το \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_0^{R}\sin(x^n)\, dx, όπου R>0 ;

Απριλίου 8, 2011

Μέσος όρος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 5:29 μμ

Μπορείτε να γράψετε το άθροισμα \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}k σαν τον μέσο όρο των όρων μιας συγκλίνουσας ακολουθίας; Δηλαδή υπάρχει συγκλίνουσα a_n τέτοια ώστε

\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}k=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}n;

Άπειρα πολλαπλάσια ΙΙ

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:10 πμ

Το πρόβλημα «άπειρα πολλαπλάσια» λέει ότι αν το G είναι ένα μη φραγμένο ανοιχτό σύνολο θετικών αριθμών τότε υπάρχει x τέτοιο ώστε άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο G. Δείξτε ότι το σύνολο αυτών των x είναι πυκνό στο [0,+\infty).

Απριλίου 7, 2011

Αντιπρόσωποι σε ομάδες

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 8:34 μμ

Έστω G αβελιανή ομάδα.

Αν H_1, H_2 υποομάδες της G με τον ίδιο δείκτη δείξτε ότι μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο R \subseteq G το οποίο να περιέχει ένα ακριβώς στοιχείο από κάθε coset της υποομάδας H_1 και ένα ακριβώς στοιχείο από κάθε coset της υποομάδας H_2.

Επεξήγηση: Coset της υποομάδας H της G ονομάζεται κάθε υποσύνολο της G της μορφής x+H, όπου x\in G. Ο πληθάριθμος των διαφορετικών τέτοιων cosets (είναι εύκολο να δείτε ότι τα διαφορετικά cosets είναι ανά δύο ξένα) λέγεται δείκτης της H στην G (δεν είναι αναγκαστικά πεπερασμένος αριθμός).

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: