Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 28, 2012

Σημεία στο μοναδιαίο τετράγωνο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:28 μμ

Δίνονται N σημεία x_1,\ldots, x_N στο τετράγωνο [0,1]^2 και έστω d_i η απόσταση του x_i από τα υπόλοιπα σημεία. Δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά K, που δεν εξαρτάται από το N ή τα σημεία, τέτοια ώστε

\sum_{i=1}^N d_i^2 \le K.

Φεβρουαρίου 1, 2012

Γέμισμα του χώρου με κύβους

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:29 μμ

From http://www.vitruality.com/2011/02/aadrl-term-2-class-2-3d-tiling-approximation/

Ο χώρος {\mathbb R}^d έχει γεμίσει με στερεούς μοναδιαίους κύβους:

{\mathbb R}^d = \bigcup_{t \in T} Q+t

όπου Q = [0,1]^d είναι ο μοναδιαίος κύβος και T\subseteq {\mathbb R}^d είναι το σύνολο των θέσεων στις οποίες έχουμε μεταφέρει τους κύβους. Οι κύβοι Q+t, t\in T έχουν μη τεμνόμενα εσωτερικά.

Δείξτε ότι για κάθε δύο s=(s_1, s_2, \ldots, s_d), t=(t_1, t_2, \dots, t_d) \in T υπάρχει j \in \{1, 2, \ldots, d\} τέτοιο ώστε να ισχύει

|s_j-t_j| \in \{1, 2, 3, \ldots\}.

Το πρόβλημα είναι τετριμμένο για d=1, πολύ εύκολο για d=2 και είναι ήδη ενδιαφέρον για d=3.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: