Προβλήματα Μαθηματικών

Νοεμβρίου 29, 2011

Αναδρομική ακολουθία 2

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:01 μμ

Το παρακάτω πρόβλημα προτείνει ο Τάσος Κοτρώνης.

Νοεμβρίου 24, 2011

Γινόμενα πινάκων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:38 πμ

Ας είναι A, B \in {\mathbb C}^{n \times n} δύο n \times n πίνακες με μιγαδικά στοιχεία. Για ένα γινόμενο αυτών των πινάκων της μορφής

A^{a_1}B^{b_1}A^{a_2}B^{b_2}\cdots A^{a_r}B^{b_r}, με a_j, b_j \ge 0

ονομάζουμε την ποσότητα a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_r+b_r συνολικό εκθέτη του γινομένου.

Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων A, B όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ N.

Νοεμβρίου 12, 2011

Έχουν σημασία οι διαστάσεις;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:52 πμ

Είναι οι προσθετικές ομάδες {\mathbb Q} και {\mathbb Q}^2 ισόμορφες ή όχι; Οι {\mathbb R} και {\mathbb R}^2;

Νοεμβρίου 11, 2011

Στο παρά πέντε

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:47 πμ

Σ’ ένα από τα μεγάλα και φημισμένα πανεπιστήμια της Αμερικής υπήρχε κάποτε ένας μεταπτυχιακός φοιτητής που έκανε το διδακτορικό του στον τομέα της Ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, το θέμα στο οποίο δούλευε ήταν μια γενίκευση των συναρτήσεων Lipschitz.

Μια συνάρτηση f ορισμένη πάνω σ’ ένα διάστημα I λέγεται Lipschitz αν υπάρχει μια σταθερά K τέτοια ώστε

|f(x)-f(y)| \le K |x-y|, για κάθε x,y \in I.

Π.χ. αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη παντού και |f'(x)| \le K για κάθε x, τότε είναι Lipschitz, ως απλή εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

Αν, για κάποιο a\le 1, ισχύει η ανισότητα

|f(x)-f(y)| \le K |x-y|^a, για κάθε x,y \in I,

τότε η συνάρτηση f λέγεται ότι είναι τύπου Lipschitz(a). Π.χ. η συνάρτηση f(x)=\sqrt{|x|} είναι Lipschitz(1/2) στο διάστημα [0,1], όπως μπορεί κανείς εύκολα να δείξει.

Ο φοιτητής μας λοιπόν είχε αποφασίσει να μελετήσει και συναρτήσεις τύπου Lipschitz(a) αλλά για a>1, μια κλάση συναρτήσεων που δεν είχε μελετηθεί ως τότε, σε αντίθεση με την περίπτωση a\le 1. Υποθέτοντας λοιπόν ότι μια συνάρτηση f είχε αυτή την ιδιότητα απεδείκνυε μετά ένα σωρό ιδιότητες για την f, ιδιότητες αρκετά ισχυρές που καθιστούσαν έτσι αυτή την κλάση συναρτήσεων πολύ ενδιαφέρουσα.

Όμως, μερικές μέρες πριν παρουσιάσει το διδακτορικό του, και μετά από κάποιες συζητήσεις που είχε (αυτός κι ο καθηγητής του) με ένα νεοαφιχθέντα καθηγητή του Τμήματός του, το διδακτορικό του αποσύρθηκε και η παρουσίασή του δεν έγινε ποτέ.

Τι είχε συμβεί;

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: