Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 26, 2008

Σειρά συνημιτόνων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:20 μμ

Συγκλίνει η σειρά \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos\ln n }n ;

Advertisements

Αεροδρόμιο στη στέπα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 1:12 πμ

Τρεις πόλεις είναι χτισμένες στη στέπα και η κυβέρνηση της χώρας αποφάσισε επιτέλους να φτιάξει ένα αεροδρόμιο που να τις εξυπηρετεί. Οι πόλεις θα συνδεθούν με το αεροδρόμιο με αυτοκινητοδρόμους. Οι δρόμοι όμως κοστίζουν και η κυβέρνηση χρήματα πολλά δεν θέλει να διαθέσει. Σας προσλαμβάνει λοιπόν για να γνωμοδοτήσετε που πρέπει να χτιστεί το αεροδρόμιο ώστε το κόστος κατασκευής των τριών αυτοκινητοδρόμων να είναι ελάχιστο. Μάλιστα, το μόνο που προτίθεται να σας δώσει είναι ένας χάρτης της περιοχής, ένας κανόνας κι ένας διαβήτης. Πώς θα υποδείξετε το καταλληλότερο σημείο;

Οκτώβριος 24, 2008

Διωνυμικοί συντελεστές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:41 πμ

Για {x \in {\mathbb R}} και για φυσικό αριθμό m ορίζουμε

{\displaystyle {x \choose m} = \frac{1}{m!} x(x-1)\cdots(x-m+1)}.

Αν a ακέραιος και q πρώτος αριθμός δείξτε ότι υπάρχει ακέραιος A και ακέραιος {n\ge 0} ώστε να ισχύει

{\displaystyle {a/q \choose m} = \frac{A}{q^n}}.

Οκτώβριος 20, 2008

Ο μέσος μισθός των διευθυντών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:39 πμ

Σε μια χώρα που επλήγη από την πρόσφατη οικονομική κρίση υπάρχει διάχυτη η εντύπωση στους μετόχους των τραπεζών ότι τα διευθυντικά στελέχη των αμοίβονται πολύ περισσότερο απ’ ό,τι πρέπει. Σε μια προσπάθεια να συνεισφέρουν στη διόρθωση του συστήματος 10 διευθυντές τραπεζών μαζεύονται μια μέρα σε μια συζήτηση στρογγυλής τραπέζης.

(more…)

Οκτώβριος 19, 2008

Ανακατέματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 7:56 μμ

Έχουμε ένα τετράγωνο χαρτί, 1×1, που είναι άσπρο με μια μικρή στρογγυλή μαύρη βούλα, με κέντρο στο σημείο P=(a,b) και ακτίνα r. Το κόβουμε σε πολλά μικρά κομμάτια και τα κολλάμε πάλι ώστε να σχηματιστεί ξανά ένα τετράγωνο χαρτί 1×1. Αυτή η πράξη ορίζει μια συνάρτηση

{f:[0,1]^2 \to [0,1]^2}

που στέλνει κάθε σημείο του χαρτιού {[0,1]^2} στη νέα του θέση. Κατόπιν επαναλαμβάνουμε αυτή την πράξη επ’ άπειρον. Μετά από δύο βήματα δηλ. το σημείο (x,y) του χαρτιού έχει πάει στη θέση f(f(x,y)) κ.ο.κ.

Δείξτε ότι μετά από κάποιο βήμα κάποιο σημείο του κύκλου με ακτίνα r και κέντρο το P θα ξαναείναι μαύρο, όπως στην αρχική μορφή του χαρτιού.

Οκτώβριος 17, 2008

Σημεία και χρώματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 3:12 μμ

Τα σημεία του επιπέδου είναι χρωματισμένα πράσινα, κόκκινα ή μπλέ. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο σημεία με απόσταση 1 που έχουν το ίδιο χρώμα.

Οκτώβριος 16, 2008

Ομοιόμορφα φραγμένες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:44 μμ

Έστω f_n:\mathbb R\to \mathbb R μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων τέτοια ώστε το σύνολο \{f_n(x):n\in\mathbb N\} είναι φραγμένο για κάθε x\in\mathbb R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα διάστημα I και ένας αριθμός M>0 έτσι ώστε |f_n(x)|\leq M για κάθε x\in I και κάθε n. Δηλαδή αν η ακολουθία f_n είναι κατά σημείο φραγμένη τότε είναι ομοιόμορφα φραγμένη σε κάποιο διάστημα.

Οκτώβριος 9, 2008

Κέντρο βάρους

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:59 μμ

Δείξτε πρώτα ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τριγώνου συμπίπτει πάντα με το κέντρο βάρους του τριγώνου. Στη συνέχεια δείξτε ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τετραπλέυρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Υπενθυμίζεται ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός \nu-γώνου με κορυφές (x_1,y_1),...,(x_\nu,y_\nu) είναι το κέντρο βάρους \nu ίσων μαζών τοποθετημένων στις κορυφές του και έχει συντεταγμένες

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_\nu}{\nu}\qquad \bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_\nu}{\nu}.

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πολυγώνου Π (που είναι το κέντρο βάρους μιας μάζας κατανεμημένης ομοιόμορφα στην επιφάνεια του πολυγώνου) δίνονται από τις σχέσεις

\displaystyle x_G=\frac{\iint_{\Pi} xdxdy}{\iint_{\Pi} dxdy} \qquad y_G=\frac{\iint_{\Pi} ydxdy}{\iint_{\Pi} dxdy}

και μπορείτε να τις βρείτε στο παλιό και αγαπημένο πρόβλημα «Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου«

Οκτώβριος 7, 2008

Πόσες ζαριές;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:14 πμ

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών προβλέπει ότι αν ρίξουμε ένα ζάρι πολλές φορές τότε το ποσοστό των άσων που θα φέρουμε θα είναι με μεγάλη πιθανότητα κοντά στο 1/6. Σε ποιο από τα παρακάτω δύο παιχνίδια θα σας συνέφερε περισσότερο να στοιχηματίσετε όμως;

1) Να ρίξετε ένα ζάρι 60 φορές κερδίζοντας αν φέρετε τουλάχιστον 10 άσους ή
2) Να ρίξετε ένα ζάρι 600 φορές κερδίζοντας αν φέρετε τουλάχιστον 100 άσους.

Οκτώβριος 3, 2008

Δυνάμεις τριγωνικού πίνακα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:26 μμ

Ο κάτω τριγωνικός n\times n πίνακας A έχει μονάδες πάνω στη διαγώνιο (A_{ii}=1,\ i=1,2,\ldots,n) και έχει την ιδιότητα ότι όλες του οι δυνάμεις έχουν στοιχεία φραγμένα από μια σταθερά {M>0}, κατ’ απόλυτη τιμή. Δείξτε ότι A = I (ο μοναδιαίος πίνακας).

Οκτώβριος 1, 2008

Παλιότερα Προβλήματα

Filed under: Γενικά Σχόλια — Mihalis Kolountzakis @ 11:30 πμ

Τα μαθηματικά προβλήματα είναι όπως το καλό κρασί. Όσο μένουν άλυτα τόσο αυξάνει η αξία της λύσης τους.

Όχι ότι κάποια από τα προβλήματα που εμφανίζονται εδώ έχουν το status της εικασίας του Goldbach ή της υπόθεσης του Riemann, αλλά το πέρασμα το χρόνου αναδεικνύει και τη δυσκολία των προβλημάτων που έχουν αναρτηθεί.

Μην αγνοείτε λοιπόν τα παλιότερα προβλήματα του blog. Πηγαίνετε στον πάτο της σελίδας και επιλέξτε την κατηγορία Άλυτα Προβλήματα για να δείτε τι δεν έχει ακόμη λυθεί. Προσπαθείστε το.

Αν έχετε κάποια ημιτελή λύση ή κάποια ιδέα για πιθανή λύση πείτε την. Θα δημιουργήσει συζήτηση και με τη συζήτηση θα έρθει και η πρόοδος στο πρόβλημα.

Επίσης σε πολλά προβλήματα μπαίνουν και υποδείξεις με την πάροδο του χρόνου (επιλέξτε κατηγορία Με υπόδειξη για να δείτε ποια είναι αυτά ανά πάσα στιγμή).

Τέλος σε πολλά από τα προβλήματα με την ένδειξη Λυμένα Προβλήματα υπάρχει και η ένδειξη Με επιπλέον ερωτήματα. Σε αυτά έχουν τεθεί, στη συζήτηση που έχει γίνει για τη λύση τους, κι άλλα ερωτήματα που είναι σχετικά με το αρχικό, και άρα η συζήτηση σε αυτά δεν πρέπει να θεωρείται τελειωμένη.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: