Προβλήματα Μαθηματικών

9 Οκτωβρίου, 2008

Κέντρο βάρους

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:59 μμ

Δείξτε πρώτα ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τριγώνου συμπίπτει πάντα με το κέντρο βάρους του τριγώνου. Στη συνέχεια δείξτε ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τετραπλέυρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Υπενθυμίζεται ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός \nu-γώνου με κορυφές (x_1,y_1),...,(x_\nu,y_\nu) είναι το κέντρο βάρους \nu ίσων μαζών τοποθετημένων στις κορυφές του και έχει συντεταγμένες

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_\nu}{\nu}\qquad \bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_\nu}{\nu}.

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πολυγώνου Π (που είναι το κέντρο βάρους μιας μάζας κατανεμημένης ομοιόμορφα στην επιφάνεια του πολυγώνου) δίνονται από τις σχέσεις

\displaystyle x_G=\frac{\iint_{\Pi} xdxdy}{\iint_{\Pi} dxdy} \qquad y_G=\frac{\iint_{\Pi} ydxdy}{\iint_{\Pi} dxdy}

και μπορείτε να τις βρείτε στο παλιό και αγαπημένο πρόβλημα «Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου«

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.