Άθροισμα δυνάμεων

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Αν , και , βρείτε το .

Αναδρομική ακολουθία

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Αν , , και ,  τότε μκδ και υπάρχει σταθερά ώστε για κάθε .

Διάσπαση ακολουθίας

To πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Λέμε ότι μια ακολουθία φυσικών χωρίς άσους επιδέχεται διχοτόμηση αν υπάρχει κάποια άλλη ακολουθία (φυσικών) τέτοια ώστε , όπου αναδιάταξη τής . Πότε μια ακολουθία τριών όρων επιδέχεται διχοτόμηση;

Breakeven

 

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Η Alice και ο Bob παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Πριν ξεκινήσουν, ο Bob καταβάλλει στην Alice το ποσό των USD. Στη συνέχεια, η Alice διαλέγει κρυφά ένα υποσύνολο με μέτρο , και ο Bob διαλέγει επίσης κρυφά σημεία . Μετά οι παίκτες αποκαλύπτουν τις επολογές τους, και η Alice καταβάλλει στον Bob το ποσό USD. Ποια τιμή τού κάνει το παιχνίδι δίκαιο;

Μια ταυτότητα

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Χρησιμοποιώντας πλήρη γραφήματα και βασικές αρχές απαρίθμησης αποδείξτε ότι

για .

 

Μήκος γραφήματος

Δείξτε ότι το μήκος τού γραφήματος μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης από το στο είναι το πολύ , και ότι το φράγμα αυτό «πιάνεται» από κάποια συνάρτηση. Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα για το μήκος τού γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης από το στο ;

Υπερκύβος

Tο πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Ο –διάστατος υπερκύβος είναι το γράφημα με σύνολο κομβών όλα τα δυαδικά διανύσματα μήκους . Δύο κόμβοι είναι συνδεδεμένοι με ακμή ακριβώς όταν διαφέρουν σε μία θέση οι συντεταγμένες τους. Ο γράφος ορίζεται αναδρομικά, αν πάρουμε δύο αντίτυπα μιας διάστασης μικρότερης (δηλαδή δύο ), θέσουμε την πρώτη συντεταγμένη του ενός αντιτύπου να είναι 0 και του δεύτερου 1, και ακολούθως ενώσουμε τις αντίστοιχες κορυφές. Θα μπορούσαμε όμως αυτό να το κάναμε με οποιαδήποτε άλλη από τη πρώτη συντεταγμένη, έτσι έχουμε συνολικά υποκύβους μιας διάστασης μικρότερης (Υποκύβος ονομάζεται οποιοσδήποτε υπερκύβος μικρότερης διάστασης που είναι υπογράφημα στο ).

Στο υπάρχουν υποκύβοι όλων των διαστάσεων, για . Πόσοι είναι αυτοί για κάθε ; Αν αθροίσουμε τις ακμές όλων των υποκύβων από έως , ποιό είναι το αποτέλεσμα;

Υποόδειξη: Υπολογίστε το ζητούμενο άθροισμα με τον προφανή τρόπο, αφού βρείτε πρώτα το πλήθος των υποκύβων διάστασης , και πόσες ακμές έχει οποιοδήποτε από τα . Ακολούθως εκφράστε ξανά το ζητούμενο άθροισμα, αναλογιζόμενοι το πόσες φορές προσμετράται μια οποιαδήποτε ακμή, χρησιμοποιώντας ένα συμμετρικό επιχείρημα. Απλοποιήστε. Τί παρατηρείτε;

 

Γινόμενα Borel

Αν ο είναι ένας μετρικός χώρος με συμβολίζουμε τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel και με τη σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα ορθογώνια όπου τα είναι Borel υποσύνολα τού . Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι

.

Ισχύει το ίδιο με ένα αυθαίρετο μετρικό χώρο στη θέση τού ;

Ορθοκανονικό σύνολο

Ας είναι ένα ορθοκανονικό υποσύνολο τού το οποίο αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις. Θέτουμε , όπου είναι η γραμμική θήκη. Δείξτε ότι αν υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε

, τότε ο έχει πεπερασμένη διάσταση.

Argument

Αν και , βρείτε μια εκτίμηση για το όρισμα τού μιγαδικού αριθμού

Ροπές και διαμερίσεις

Το ερώτημα θέτει ο Κ. Κουρουζίδης. Η ροπή  2n τάξης τής τυποποιημένης κανονικής κατανομής είναι ίση με το πλήθος των διαμερίσεων σε 2-σύνολα ενός συνόλου με 2n στοιχεία. Είναι αυτό μια αριθμητική σύμπτωση;

 

Απεριοδική Πλακόστρωση

Κατασκευάστε σύνολα τέτοια ώστε

1. Το σύνολο είναι πεπερασμένο,
2. Κάθε γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα
   , με ,
3. Δεν υπάρχει διάνυσμα τέτοιο ώστε .

Το παρακάτω το είχα αναρτήσει το 2008 και κανείς δεν έκανε το παραμικρό. Το φέρνω λοιπόν πάνω μήπως και έχει καλύτερη τύχη τώρα.

Μερικές μέρες έμειναν ακόμη …

Τη Δευτέρα 15/6/2015 λήγει η προθεσμία υποβολής υποψηφιοτήτων για τα μεταπτυχιακά προγράμματα του Τμήματός μας.

Αναγκαστικά ισομετρία

Μια συνεχής συνάρτηση από ένα συμπαγή μετρικό χώρο στον εαυτό του έχει την ιδιότητα ότι δε μικραίνει τις αποστάσεις:

Για κάθε έχουμε (εδώ είναι η μετρική του χώρου ).

Δείξτε ότι η είναι ισομετρία: για κάθε .

(Αν έχετε πρόβλημα με την έννοια «συμπαγής μετρικός χώρος» μπορείτε να σκέφτεστε το σαν ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Ευκλείδιου χώρου με τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική.)

Όριο με τον ορισμό

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Βρείτε το ελάχιστο στον ορισμό τού ορίου

.

Διασπορά και Διάταξη

Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης

Αν είναι τυχαίες μεταβλητές και είναι μια αναδιάταξή τους ώστε , δείξτε ότι

 

Γρήγορος υπολογισμός διαμέτρου

Αν έχουμε σημεία σε ένα μετρικό χώρο , όπου με συμβολίζουμε την απόσταση (μετρική) ανάμεσα στα σημεία , τότε αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη διάμετρο του συνόλου

εκ πρώτης όψεως φαίνεται να χρειάζεται λίγο-πολύ να υπολογίσουμε όλες τις αποστάσεις . Αν υποθέσουμε ότι κάθε υπολογισμός απόστασης παίρνει χρόνο μια μονάδα, τότε ο συνολικός χρόνος που ξοδεύουμε είναι τετραγωνικός, δηλ. της τάξης του .

1. Αν ο μετρικός μας χώρος είναι ο , όπου είναι μια σταθερά που δεν αλλάζει με το , και με μετρική την

              

   δείξτε ότι η διάμετρος του συνόλου μπορεί να υπολογιστεί πολύ γρηγορότερα, σε γραμμικό χρόνο , όπου είναι μια σταθερά που δεν εξαρτάται από το αλλά μόνο από το .

2. Το ίδιο αν ο μετρικός χώρος είναι και πάλι το με μετρική τώρα την

             .

Παραγοντικά και συνημίτονα

Το πρόβλημα προτείνει ο Γιώργος Παπαδόπουλος.

Συγκλίνει η ακολουθία ;

 

Ανισότητα

Ένα πρόβλημα από τον Αλέξανδρο Γαλανάκη.

Έστω , και μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και . Δείξτε ότι

 

Οι εφτά νάνοι

Ένα ακόμη πρόβλημα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και καθένας έχει μια κούπα. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, αν η συνολική ποσότητα είναι ουγγιές;