Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 30, 2008

Παιχνίδι μ’ ένα τόπι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:58 μμ

Στο πάτωμα βρίσκεται ένα σφαιρικό τόπι, που εφάπτεται στο σημείο Α του πατώματος. Παίρνετε αυτό το τόπι και παίζετε για λίγη ώρα. Αφού τελειώσετε το παιχνίδι αφήνετε ξανά το τόπι στο πάτωμα ώστε να ακουμπάει πάλι στο σημείο Α.

Ο προσανατολισμός του κατά τα άλλα μπορεί να είναι τυχαίος.

Δείξτε ότι υπάρχει κάποιο σημείο πάνω στο τόπι που βρίσκεται στις ίδιες 3-διάστατες συντεταγμένες που βρισκόταν και πριν πάρετε το τόπι για να παίξετε.

Μην τα περιμένετε όλα από τη μηχανή

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:04 μμ

Διαλέξτε την αγαπημένη σας γλώσσα προγραμματισμού (π.χ. Pascal, C, Basic, κλπ).

Δείξτε ότι υπάρχει μια συνάρτηση f:{\mathbb N} \to {\mathbb N} για την οποία δεν υπάρχει πρόγραμμα στη γλώσσα προγραμματισμού που επιλέξατε που να την υπολογίζει.

({\mathbb N}=\{1,2,3,\ldots\} είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.)

Ακίνδυνα πυροτεχνήματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:21 μμ

Έχετε στη διάθεσή σας ένα αναπτήρα και δύο φυτίλια, κάθε ένα από τα οποία παίρνει ακριβώς 4 ώρες για να καεί από τη μια άκρη του στην άλλη.

Τα φυτίλια αυτά δεν καίγονται κατ’ ανάγκη ομοιόμορφα, μπορεί δηλ. στο πρώτο ένα τέταρτο της ώρας να καεί το 90% του φυτιλιού, όμως θα πάρει ακριβώς 4 ώρες για να καεί πλήρως. Ούτε είναι τα δύο φυτίλια μεταξύ τους ίδια όσον αφορά τον τρόπο με τον οποίο καίγονται.

Πώς θα καταφέρετε να μετρήσετε χρονικό διάστημα μιας ώρας με αυτά τα δύο φυτίλια;

Απριλίου 29, 2008

Ευθείες και Σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 4:23 μμ

Στο επίπεδο δίνονται n ευθείες \ell_i, 1\leq i\leq n και n σημεία p_j, 1\leq j\leq n. Βρείτε ένα άνω φράγμα για τον πληθάριθμο του συνόλου

\{(i,j):p_j\in \ell_i\}.

H εντελώς τετριμμένη απάντηση είναι, βέβαια, n^2. Προσπαθήστε να μειώσετε τον εκθέτη 2.

Απριλίου 23, 2008

Αναπόφευκτος συντονισμός

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 7:18 μμ

Έστω {0<n_1<n_2<\cdots<n_k} διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι

\displaystyle {\max_{x \in [0,2\pi]} | \sin{n_1 x} + \sin{n_2 x} + \cdots + \sin{n_k x}| \ge C \sqrt{k}},

όπου {C>0} είναι μια απόλυτη σταθερά (για παράδειγμα {C=10^{-2}} σίγουρα είναι σωστό) που δεν εξαρτάται από το {k} ή τους ακεραίους {n_j}.

Απριλίου 19, 2008

Τρία δυάρια

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:52 μμ

Εκφράστε έναν τυχόντα αρνητικό ακέραιο χρησιμοποιώντας:

(1) Το σύμβολο «2» ακριβώς τρεις φορές.

(2) Το σύμβολο «\log» ακριβώς δυο φορές.

(3) Το σύμβολο «\sqrt{\quad}» όσες φορές θέλετε.

Απριλίου 16, 2008

Παιχνίδι με ζάρι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:52 μμ

(Το πρόβλημα αυτό που έμαθα από τον Μ. Πλεξουσάκη. Το είχε δώσει ο Σ. Πηχωρίδης σαν άσκηση στο μάθημα των Πιθανοτήτων)

Ξεκινώντας από το μηδέν ρίχνουμε ένα (τίμιο) ζάρι και προχωράμε (στο σύνολο των φυσικών αριθμών) μετά από κάθε ζαριά σύμφωνα με την ένδειξη του ζαριού. Κερδίζουμε αν καταφέρουμε μετά από κάποια ζαριά να σταματήσουμε ακριβώς στον αριθμό {N}. Αν {p_N} είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε βρείτε το \lim_{N\to\infty} p_N.

Απριλίου 13, 2008

Παιχνίδι με τραπουλόχαρτα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:22 πμ

Παίρνουμε μια συνηθισμένη τράπουλα με 52 χαρτιά, τη γυρνάμε προς τα κάτω και επαναλαμβάνουμε το εξής:

Τραβάμε (στην τύχη) ένα τραπουλόχαρτο «αξίας» x (τα J, Q, K μετράνε πάντα ως 10), το τοποθετούμε να κοιτάει προς τα κάτω και μετά από πάνω του τοποθετούμε, γυρισμένα προς τα κάτω επίσης, τόσα τραπουλόχαρτα μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό 12. Για παράδειγμα, αν το χαρτί που τραβήξαμε λέει επάνω 9 τότε ο σωρός που φτιάχνουμε θα έχει το 9 στον πάτο και από πάνω του άλλα 3 τραπουλόχαρτα.

Το κάνουμε αυτό μέχρι να τελειώσει η τράπουλα. Αν κατά τη διάρκεια σχηματισμού ενός σωρού τελειώσει η τράπουλα προτού συμπληρωθεί ο σωρός μέχρι το 12, τότε φτιάχνουμε ένα ξεχωριστό σωρό με τα υπόλοιπα (τον ασυμπλήρωτο σωρό). Γυρνάμε μετά όλους τους συμπληρωμένους σωρούς προς τα επάνω ώστε να φαίνονται τα χαρτιά που είναι στον πάτο και προσθέτουμε τις αξίες αυτών.

Βρείτε ένα τρόπο να μαντέψετε το άθροισμα γνωρίζοντας μόνο

  1. το πλήθος P των συμπληρωμένων σωρών και
  2. το πληθος R των υπολοίπων (το μέγεθος δηλ. του ασυμπλήρωτου σωρού).

Απριλίου 10, 2008

Δυσμενείς μεταθέσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:30 μμ

f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια συνάρτηση και t ένας αριθμός, ας συμβολίσουμε με f_t την μετάθεση της f κατά t πάνω στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή f_t(x)=f(x-t). Είναι δυνατό για κάποια συνεχή περιοδική f και κάποιο t, οι γραφικές παραστάσεις των f και f_t να είναι ξένες;

Με άλλα λόγια, η κόκκινη καμπύλη και η μπλε καμπύλη γίνεται να μην τέμνονται;

Απριλίου 8, 2008

Βόλλεϋ

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 1:22 πμ

Σε έναν αγώνα βόλλεϋ παίζουν δύο ομάδες Α, Β. Κάθε πόντος ξεκινά με σερβίς από μια από τις δύο ομάδες και τελικά κερδίζεται είτε από τη μια είτε από την άλλη. Υποθέτουμε ότι όταν το σερβίς έχει η ομάδα Α (Β) ο πόντος κερδίζεται από την ομάδα Α με πιθανότητα p_A  (p_B) ή από την ομάδα Β με πιθανότητα 1-p_A (1-p_B). H έκβαση κάθε πόντου είναι ανεξάρτητη από ό,τι έχει συμβεί ως τότε. Η πρώτη ομάδα που συμπληρώνει 25 πόντους κερδίζει ένα σετ και η πρώτη ομάδα που κερδίζει 3 σετ κερδίζει και τον αγώνα.

Στη Φιλενδία και στην Διπλομπλοκία έχουν λίγο διαφορετικούς κανόνες σχετικά με το ποια ομάδα σερβίρει κάθε πόντο. Και στις δύο χώρες γίνεται κλήρωση για το ποια ομάδα σερβίρει τον πρώτο πόντο του αγώνα και οι ομάδες σερβίρουν εναλλάξ τον πρώτο πόντο σε κάθε επόμενο σετ. Στη Φιλενδία όμως οι δύο ομάδες σερβίρουν εναλλάξ όλους τους πόντους σε ένα σετ, ενώ στη Διπλομπλοκία το σερβίς σε κάθε πόντο (μετά τον πρώτο πόντο σε κάθε σετ) το κάνει η ομάδα που κέρδισε τον προηγούμενο.

Πριν από κάθε αναμέτρηση ανάμεσα στις εθνικές ομάδες των δύο χωρών γίνονται ατέλειωτες συζητήσεις σχετικά το ποιά ομάδα ευννοεί ο ένας ή ο άλλος κανονισμός. Δείξτε όμως ότι η πιθανότητα που έχει η κάθε ομάδα να κερδίσει είναι η ίδια, είτε με τον ένα είτε με τον άλλο κανονισμό.

Απριλίου 6, 2008

Καμπύλες Peano

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 3:54 μμ

Μια καμπύλη Peano είναι μια συνεχής και επί απεικόνιση

\gamma:[0,1]\to[0,1]\times[0,1].

Με άλλα λόγια, η \gamma περνάει από κάθε σημείο του μοναδιαίου τετραγώνου. Δεχτείτε χωρίς απόδειξη ότι υπάρχουν καμπύλες Peano και δείξτε ότι πάνω στην περιφέρεια κάθε κύκλου μέσα στο μοναδιαίο τετράγωνο υπάρχει κάποιο σημείο από το οποίο μια τέτοια καμπύλη περνάει τουλάχιστο δυο φορές.

Το πεπερασμένο και το άπειρο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 3:27 μμ

Ένα γράφημα G είναι ένα σύνολο V από κορυφές οι οποίες μπορεί ανά δύο να συνδέονται με μια ακμή. (Αυτό κωδικοποιείται στο σύνολο E των ακμών που είναι ένα σύνολο από διμελή υποσύνολα του V.)

Ένα απλό γράφημα

Ένας χρωματισμός ενός γραφήματος με {r} χρώματα είναι μια απεικόνιση

\displaystyle \chi:V \to \{1,\ldots,r\}

τέτοια ώστε αν οι κορυφές u, v \in V συνδέονται με ακμή στο γράφημα (αν δηλ. \{u,v\}\in E) τότε \chi(u) \neq \chi(v). Κορυφές δηλ. που συνδέονται με ακμή πρέπει να έχουν διαφορετικό χρώμα.

Τέλος, ένα υπογράφημα ενός γραφήματος G προκύπτει αν κρατήσουμε ένα υποσύνολο μόνο των κορυφών του και τις ακμές που υπάρχουν στο G.

Σας δίδεται ένα γράφημα G με άπειρο σύνολο κορυφών V=\{1,2,3,\ldots\} και με την ιδιότητα ότι όλα τα πεπερασμένα υπογραφήματά του μπορούν να χρωματιστούν με 10 χρώματα. Δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το άπειρο γράφημα G.

Απριλίου 4, 2008

Ο μακρύς δρόμος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 8:23 μμ

Περιγράψτε πως μπορείτε να κατασκευάσετε μια συνεχή κλειστή καμπύλη

\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2

τέτοια ώστε το \gamma([0,1]) έχει εμβαδό μηδέν και το \gamma([a,b]) έχει άπειρο μήκος για κάθε 0\leq a<b\leq1. Δηλαδή αν ξεκινήσετε από οποιοδήποτε σημείο της \gamma και περπατήσετε πάνω της, θα διαγράψετε άπειρο μήκος, ανεξάρτητα από το πόσο σύντομη είναι η βόλτα σας.

Πώς να εξαφανίσετε ένα σημείο του κύκλου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 7:01 μμ

Χωρίστε ένα κύκλο σε δύο ξένα σύνολα A και B ώστε να είναι δυνατό με κάποια στερεά κίνηση να μετακινήσετε τα A και B έτσι ώστε

  1. να παραμένουν ξένα και
  2. η ένωσή τους να είναι ο ίδιος κύκλος μείον ακριβώς ένα σημείο.

Απριλίου 2, 2008

Ν-οστό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 1:27 πμ

Χωρίζουμε κάθε πλευρά ενός κυρτού τετραπλεύρου σε N ίσα τμήματα και ενώνουμε τα αντίστοιχα σημεία των απέναντι πλευρών ώστε να σχηματιστούν N^2 μικρότερα τετράπλευρα διατεταγμένα σε «γραμμές» και «στήλες». Ονομάζουμε E_{ij} το τετράπλευρο στη «γραμμή» i και «στήλη» j. (1\le i,j \le N.) Δείξτε ότι το συνολικό εμβαδό των τετραπλεύρων E_{ii} ισούται με το 1/N του εμβαδού του αρχικού τετραπλεύρου.

Απριλίου 1, 2008

Τρεις πόρτες έχει η ζωή …

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:32 μμ

Το παρακάτω πρόβλημα είναι πλέον πολύ γνωστό αλλά, παρ’ όλ’ αυτά, πάντα έχει την ικανότητα να δημιουργεί συζητήσεις ατελείωτες και ενίοτε παθιασμένες.

Ο παίκτης Α παίζει με τον παίκτη Β το εξής παιχνίδι. Υπάρχουν τρεις κλειστές πόρτες και πίσω από μια από αυτές υπάρχει ένας θησαυρός. Πίσω από τις άλλες δεν υπάρχει τίποτα. Ο παίκτης Β γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από τις πόρτες και ο παίκτης Α όχι.

Κατ’ αρχήν ο παίκτης Α επιλέγει μια από τις πόρτες στην τύχη. Έπειτα, με βάση τους κανόνες του παιχνιδιού, ο παίκτης Β είναι υποχρεωμένος να ανοίξει στον Α μια άδεια πόρτα που είναι διαφορετική από αυτή που ο Α έδειξε (η οποία παραμένει κλειστή). Κατόπιν ο Β δίνει στον Α την ευκαιρία να επιλέξει αν θα επιμείνει στην αρχική του επιλογή ή θα επιλέξει την άλλη κλειστή πόρτα.

Εσείς τι θα κάνετε αν είσασταν στη θέση του παίκτη Α; Εννοείται εδώ ότι ο σκοπός του παίκτη Α είναι να παίξει με τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να βρει το θησαυρό.

Χωρισμός σε τέσσερα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:51 πμ

Αν \Omega είναι ένα (ανοιχτό και φραγμένο) υποσύνολο του επιπέδου δείξτε ότι υπάρχουν δύο ορθογώνιες ευθείες που το χωρίζουν σε 4 ισεμβαδικά μέρη.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: