Πολύγωνα και παραλληλόγραμμα

Έστω P ένα κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο, συμμετρικό ως προς το σημείο 0.

Δείξτε ότι το P μπορεί να γραφεί ως ένωση παραλληλογράμμων με ξένα εσωτερικά.

Άθροισμα ψηφίων

Το πρόβλημα προτείνει ο Αλέξανδρος Γαλανάκης.

΄Εστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο αριθμός . Να δείξετε ότι ο αριθμός δεν μπορεί να έχει τελικό άθροισμα ψηφίων .

Νικητήρια στρατηγική

Το πρόβλημα προτείνει ο Αλέξανδρος Γαλανάκης,

Θεωρούμε ένα παιχνίδι που παίζεται απο δύο παίχτες. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής. Υπάρχει μια στίβα απο μάρκες στο τραπέζι και ο παίχτης που παίζει αφαιρεί από τη στίβα από μέχρι μάρκες κάθε φορά, με . Οι παίχτες παίζουν εναλλάξ. Νικητής είναι αυτός που αφαιρεί απο τη στίβα τις τελευταίες μάρκες. Το ερώτημα είναι ποιος από τους δυο παίχτες μπορεί να έχει στρατηγική νίκης και ποιά είναι αυτή.

Δίκτυο ευθειών

Το πρόβλημα προτείνει ο Αλέξανδρος Γαλανάκης.

Στο επίπεδο δίνονται διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που τέμνονται ανά δυο αλλά ανά τρείς δεν τέμνονται στο ίδιο σημείο. Να βρείτε το πλήθος των φραγμένων και μη φραγμένων χωρίων που δημιουργούνται.