Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 15, 2013

Νομίσματα πάνω σ’ ένα τραπέζι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:48 πμ

coins-on-table

Σε ένα ορθογώνιο τραπέζι T βρίσκονται τοποθετημένα n όμοια, κυκλικά νομίσματα, με τέτοιο τρόπο ώστε δε χωράει να τοποθετηθεί άλλο νόμισμα πάνω στο τραπέζι αυτό χωρίς να επικαλύπτει μερικώς κάποιο από τα ήδη υπάρχοντα νομίσματα. (Ένα νόμισμα θεωρείται τοποθετημένο πάνω στο τραπέζι όταν το κέντρο του βρίσκεται πάνω στο τραπέζι; δε χρειάζεται να βρίσκεται ολόκληρο επάνω.)

Δείξτε ότι 4n νομίσματα αρκούν για να καλύψουν πλήρως το τραπέζι, φυσικά αλληλοκαλυπτόμενα.

Οκτώβριος 13, 2013

Διασπάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:44 πμ

venn

Ας είναι {\mathcal F} μια πεπερασμένη οικογένεια από υποσύνολα ενός συνόλου X. Αν είναι E \subseteq X ένα πεπερασμένο σύνολο μεγέθους k, λέμε ότι η οικογένεια {\mathcal F} διασπά το σύνολο E αν ο αριθμός των διαφορετικών συνόλων

F\cap E, όπου F \in {\mathcal F},

ισούται με 2^k. Όλα δηλ. τα υποσύνολα του E «φτιάχνονται» από τα σύνολα της {\mathcal F} περιορισμένα στο E.

Δείξτε ότι κάθε οικογένεια {\mathcal F} μεγέθους N=|{\mathcal F}| διασπά τουλάχιστον N διαφορετικά υποσύνολα του X.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: