Χρωματιστά νομίσματα

Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης

 

Σταθεροποιήστε φυσικό αριθμό ν, και θεωρήστε ν το πλήθος τίμια νομίσματα έχουν χρωματιστεί με ν χρώματα ως ακολούθως:

Για i=1,2,…,ν-1, οι πλευρες του νομισματος i  εχουν  χρωματιστει με τα χρώματα i και i+1 και το νόμισμα ν έχει χρωματιστει με τα χρώματα ν και 1.

 

Στρίψτε όλα τα νομίσματα και ονομάστε  το πληθος των διαφορετικών χρωμάτων που βλέπουμε μετά το στρίψιμο. Ποια είναι η κατανομή της ; 

Περιστρεφόμενοι δίσκοι

Σε κάθε ακέραιο σημείο του επιπέδου , με , έχουμε κεντράρει ένα δίσκο ακτίνας γεμάτο με μπλε μελάνι. Έπειτα περιστρέφουμε όλους αυτούς τους δίσκους μαζί γύρω από την αρχή των αξόνων κατά μια ολόκληρη περιστροφή (ούτως ώστε κάθε δίσκος γράφει ένα κύκλο στο επίπεδο και επιστρέφει στην αρχική του θέση). Απ’ όπου περνάει ο κάθε δίσκος αφήνει ένα μπλε ίχνος όπου ακουμπήσει.

Δείξτε ότι υπάρχει κάποια πεπερασμένη ακτίνα ούτως ώστε έξω από τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα τα πάντα είναι μπλέ.