Το πρώτο πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;
Το δεύτερο είναι παρόμοιο: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει, και έχει γεννηθεί Τρίτη. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;
Συνάντησα το δεύτερο πρόβλημα για πρώτη φορά προχτές, και το εκπληκτικό είναι ότι η απάντηση δεν είναι η ίδια. (Υποθέτουμε ότι κάθε μια από τις δύο γέννες είναι εξίσου πιθανό να είναι αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από την άλλη, και ότι όλες οι ημέρες της εβδομάδας είναι εξίσου πιθανές.)
Προβλήματα Μαθηματικών 
Το πρώτο είναι αυτό εδώ που εξηγήσατε σε βίντεο έχω την εντύπωση: https://www.youtube.com/watch?v=fCPfntJeBJw
Για όσους αναρωτιούνται..
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Ιουνίου, 2020 @ 10:53 πμ
Το πρώτο πρόβλημα είναι κλασική περίπτωση δεσμευμένης πιθανότητας με απάντηση 1/3.
Για το δεύτερο, μια ερώτηση Μιχάλη: Θεωρείς ότι η πιθανότητα είναι 13/27 ;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:13 μμ
2: Γιατί να είναι 13/27;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:25 μμ
Και πόσο θες να είναι; 🙂
Εντάξει, δε θέλω να παίξουμε την κολοκυθιά , ούτε η ερώτησή μου υπέκρυπτε κάποια πρόθεση «ψαρέματος»
Απλώς , σε κάποιους κύκλους το 13/27 θεωρείται αναμφισβήτητα το σωστό, ενώ σε κάποιους άλλους όχι. Για την ακρίβεια, οι δεύτεροι «κύκλοι» (count me in!) θεωρούν το πρόβλημα underdefined.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:52 μμ
Ωραία, γιατί είναι underdefined;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:58 μμ
Ωραία! Θα περιμένω να διαβάσω και την προσέγγιση άλλων φίλων της σελίδας, και τα ξαναλέμε!
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 21 Ιουνίου, 2020 @ 12:04 πμ
Ποιός να είναι ο δειγματικός μας χώρος εδώ άραγε.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 21 Ιουνίου, 2020 @ 10:45 πμ
Η προσέγγιση μου έχει αυτή τη δομή. Ονομάζω:
, όπου 
είναι όλα τα ενδεχόμενα όπου στη πρώτη γέννα θα είναι αγόρι και 
όλα τα ενδεχόμενα όπου στη δεύτερη γέννα είναι οπωσδήποτε αγόρι. Προσέχουμε όμως, τουλάχιστον ένα από αυτά τα αγόρια στα δύο σύνολα να έχει γεννηθεί την Τρίτη. Τα 
, και 
έχουν μη κενή τομή. Αντιστοιχούμε για συντομία σε όλες τις μέρες τις βδομάδας ένα γράμμα του Ελληνικού αλφαβήτου: Δευτέρα:α, Τρίτη:β, Τετάρτη:γ, Πέμπτη:δ, Παρασκευή:ε, Σάββατο:ζ, Κυριακή:η. Το πρώτο στοιχείο στα ζεύγη που ακολουθούν είναι το αποτέλεσμα της πρώτης γέννας και το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσμα της δεύτερης. Ξεκινάμε: 
={(α- αγόρι,β- αγόρι),(β- αγόρι, α- αγόρι),(β- αγόρι,β- αγόρι)–δίδυμα αγοράκια,(γ- αγόρι, β- αγόρι),(β- αγόρι, γ- αγόρι),(δ- αγόρι, β- αγόρι), (ε- αγόρι, β- αγόρι), (β- αγόρι, ε- αγόρι), (ζ- αγόρι, β- αγόρι), (β- αγόρι, ζ- αγόρι),(η- αγόρι, β αγόρι),(β αγόρι, η αγόρι), «ξεκινάνε γέννες που έχουν και κορίτσια»,((β- αγόρι, α- κορίτσι),(β-αγόρι, β- κορίτσι),(β-αγόρι, γ- κορίτσι),(β-αγόρι, δ- κορίτσι),(β-αγόρι, ε- κορίτσι),(β-αγόρι, ζ- κορίτσι),(β-αγόρι, η- κορίτσι)}. Μετά προχωράμε με το 
κ.λ.π.
. Τί νομίζετε;
Η απάντηση νομίζω είναι:
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 4:26 μμ
Στο
θα μπορούσαμε να έχουμε επιπλέον δύο στοιχεία: (β-αγόρι, β-αγόρι), όπου δεν πρόκειται για δίδυμα, αλλά για δύο αγοράκια που γεννήθηκαν Τρίτη και έχουν διαφορά ηλικίας. Επίσης το (β- αγόρι, β- κορίτσι) διζυγωτικά δίδυμα. Οπότε 
Συνεχίζω με το 
. 
={(α-κορίτσι, β-αγόρι),(β-κορίτσι, β-αγόρι)–δίδυμα πάλι! ,(β-κορίτσι, β-αγόρι)–όχι δίδυμα όμως, διαφορετικής χρονιάς αδέλφια 🙂 , (γ-κορίτσι, β-αγόρι), (δ-κορίτσι, β-αγόρι), (ε-κορίτσι, β-αγόρι), (ζ-κορίτσι, β-αγόρι), (η-κορίτσι, β-αγόρι), (α-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, β-αγόρι)-δίδυμα,(β-αγόρι, β-αγόρι)-διαφορετικά έτη-(γ-αγόρι, β-αγόρι),(δ-αγόρι, β-αγόρι), (ε-αγόρι, β-αγόρι), (ζ-αγόρι, β-αγόρι), (η-αγόρι, β-αγόρι)}. Βλέπουμε πως 
. Ακολούθως θα υπολογίσω τον πληθάριθμο της ένωσης.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:02 μμ
Δεν πρόσθεσα στο
τις περιπτωσεις: (β-αγόρι, α-αγόρι), (β-αγόρι, γ-αγόρι), (β-αγόρι, δ-αγόρι), (β-αγόρι, ε-αγόρι), (β-αγόρι, ζ-αγόρι), (β-αγόρι, η-αγόρι). Οπότε 
.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:31 μμ
Ξέχασα και στο
το (β- αγόρι, δ- αγόρι). Άρα 
. Από τον τρόπο που όρισα τα 
πρέπει να έχουν τον ίδιο πληθάριθμο βέβαια. Τώρα πρέπει να αφαιρέσω το διπλομέτρημα, για να βρω τον πληθάριθμο της ένωσης.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:38 μμ
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 7:06 μμ
Νομίζω ότι σε αυτό το πρόβλημα είναι καλό να διαχωρίσουμε το καθαρά μαθηματικό κομμάτι από αυτό της διατύπωσης. Εξηγούμαι:
Έστω ότι διαλέγω τυχαία με επανάθεση από ένα δοχείο με 14 αριθμημένες σφαίρες (1 έως 14) δύο φορές.
1. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5;
2. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5 με δεδομένο ότι έχω διαλέξει τουλάχιστον μία φορά αριθμό μικρότερο του 7.5;
3. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5 με δεδομένο ότι έχω διαλέξει τουλάχιστον μία φορά αριθμό το 1;
Στα παραπάνω νομίζω ότι υπολογίζονται «εύκολα» (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability#Kolmogorov_definition) οι πιθανότητες
1/4 , 1/3 και 13/27.
Είναι το αρχικό ερώτημα το ίδιο; Προσωπικά πιστεύω πως είναι, αλλά οι δεύτεροι «κύκλοι» δεν ερμηνεύουν τη διατύπωση με αυτό τον τρόπο. Φιλολογικά θέματα…
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από shortmanikos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 1:09 πμ
Νομίζω πως έτσι όπως έχω ορίσει το πρόβλημα εγώ (με δίδυμα, αλλά και με παιδιά διαφορετικών ετών που γεννήθηκαν την ίδια μέρα) η απάντηση είναι:
. Το οποίο είναι πολύ κοντά στο 13/27.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 7:27 πμ
13: Πολύ καλά. (Μόνο που μας μπερδεύεις λίγο με αυτό το … 7,5.) Να συμπληρώσω, για να είναι πιο ξεκάθαρο, ότι οι 14 σφαίρες που έχεις στο δοχείο έχουν επάνω τους και τα 14 «ονόματα» (x, y), όπου x είναι αγόρι ή κορίτσι και y είναι οι μέρες της εβδομάδας. Η σφαίρα 1 στην οποία αναφέρεσαι έχει επάνω της (αγόρι, Τρίτη).
14: Δε μας ενδιαφέρει στο πρόβλημα αυτό ποια ημερομηνία ακριβώς γεννήθηκε το κάθε παιδί, άρα το να σκέφτεται κανείς για δίδυμα ή όχι είναι σε λάθος δρόμο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 23 Ιουνίου, 2020 @ 7:34 πμ
Θεωρώ ότι το ακόλουθο paper της Τάνιας Κοβάνοβα , μαθηματικού του MIT , είναι ό,τι πληρέστερο έχει γραφτεί σχετικά:
Click to access 1102.0173.pdf
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 8:41 πμ
15: Αν ορίσω όμως τα σύνολά μου, ακριβώς όπως τα όρισα στο σχόλιο 8., δηλαδή, το Α_1 είναι όλα τα ζεύγη όπου το πρώτο είναι αγόρι, αλλά τουλάχιστον ένα από τα δύο αγόρια στο κάθε ζεύγος να έχει γεννηθεί Τρίτη και το A_2 το δεύτερο να είναι αγόρι με την ιδιότητα τουλάχιστον ένα απ’αυτά τα ζεύγη να έχει γεννηθεί Τρίτη και κοιτάξω το λόγο που γράφω στο σχόλιο 14. βρίσκω 13/27. Ουσιαστικά αυτός ο τρόπος επίλυσης αντιπροσωπεύει το γεγονός ότι ο φίλος που συναντάμε δε μας λέει αν είναι το πρώτο παιδί αυτό ή το δεύτερο στη σειρά που είναι αγόρι και έχει γεννηθεί Τρίτη. Σωστό;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:09 πμ
Γιώργο, βλέπω πως στη παράγραφο 2.1. λέει πως αυτή η μέθοδος μου είναι λάθος.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:13 πμ
Κωνσταντίνε, δεν υπάρχει ακριβώς λαθος. Η Τάνια λέει ότι η πιθανότητα (ουσιαστικά δηλαδή ο δειγματικος χώρος. Τα υπόλοιπα είναι απλή καταμέτρηση) εξαρτάται από τον ακριβή τρόπο που ή μάλλον για τον όποιον ο πατέρας κάνει τη δήλωση του. Δες το 4. και τον φανταστικό διάλογο με τον «Jack»
Υγ. Μιχάλη, εσυ τι λες;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:44 πμ
Τώρα δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστή η μέθοδος μου ή όχι. Πάντως ο πληθάριθμος του A_1 , έτσι όπως τον όρισα είναι 20, το ίδιο και του Α_2. Ο πληθάριθμος της τομής είναι 13, οπότε ο πληθάριθμος της ένωσης είναι 20+20-13=27. Το παρήγορο, είναι, απ’όσες ματιές έριξα στα άρθρα αυτά τώρα, ότι δεν είμαι ο μόνος που μπερδεύτηκε με τη διαίσθηση του!
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:46 πμ
19: Η ουσία με το φαντασικό διάλογο του Jack είναι στο τέλος. Αν η βδομάδα είχε περισσότερες μέρες, η μέθοδος μου θα έδινε το ίδιο αποτέλεσμα με του κ. Κολουντζάκη; Ναι ή όχι;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:57 πμ
Στο σχόλιο του Shortmanikou, κοιτάζει τη διάμεσο των αριθμών 1,…,14, που είναι το
; Αν ναι, τότε είναι ενδιαφέρον το πρόβλημα. Νομίζω το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι … simulation.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 11:17 πμ
Αν μας έλεγε στο πρόβλημα πως έχει κόρη και γεννήθηκε π.χ. πρώτη Μαϊου, ποιά η πιθανότητα το δεύτερο παιδί του να είναι αγόρι;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 25 Ιουνίου, 2020 @ 9:17 μμ
Έχεις κόρη τον ρωτάμε; Και απαντάει όπως πιο πάνω.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 25 Ιουνίου, 2020 @ 9:19 μμ
15-22: Ζητάω συγνώμη για το 7,5. Όταν μιλάμε για ακέραιους το x < 7,5 είναι ένας τρόπος να γράψεις το
.
23: Για να μην έχουμε θέμα με τη διατύπωση μιλάμε για το πρόβλημα:
Α το ενδεχόμενο να έχω δύο κορίτσια
Β το ενδεχόμενο να έχω τουλάχιστον ένα κορίτσι γεννημένο 1η Μαΐου
Ποια η πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β;
Το "γεννημένο 1η Μαΐου" είναι ένα ενδεχόμενο με πιθανότητα p ( = 1/365.25 περίπου – είναι και τα δίσεκτα… ). Γενικά αν η εξτρά πληροφορία έχει πιθανότητα p θα έχω για το P(Β) ότι είναι η πιθανότητα να έχω το ζητούμενο στο πρώτο παιδί + να το έχω στο δεύτερο – να το έχω και στα δύο. Άρα
.
θέλω να έχω δύο κορίτσια και τουλάχιστον ένα να έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Άρα ή να την έχει μόνο το πρώτο ή μόνο το δεύτερο ή και τα δύο. Άρα
.
Για την πιθανότητα
Άρα από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχω
.
Για p = 1/7 θα πάρουμε το 13/27, για p = 1/365 την αντίστοιχη πιθανότητα με την ημερομηνία γέννησης. Αν θέλουμε (Α = ένα μόνο κορίτσι) απλά παρατηρούμε ότι αφού δεν μπορεί να έχω δύο αγόρια (γνωρίζω ότι υπάρχει μία κόρη) η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι αγόρι είναι απλά 1 μείον την πιθανότητα να είναι κορίτσι.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από shortmanikos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:44 πμ
Κι αν η κόρη έχει γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου ; … αλλάζει η πιθανότητα προφανώς (!?) ?
Αν ο πατέρας πει έχω ένα γιο που γεννήθηκε όταν είχαμε για μεσημεριανό φασολάκια; …
Συγνώμη,αλλά Αν δεν υποδειχθεί στην όποια σχετική εκφώνηση ο ΑΚΡΙΒΗΣ τρόπος συλλογής της πληροφορίας που μεταφέρει ο πατέρας, ΔΕΝ μπορεί να προσδιοριστεί ο δειγματικός χώρος, και το πρόβλημα έχει ambiguity. Όπως τα γράφει η Τάνια!
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 11:21 πμ
Όπως γράφω στην εκφώνηση το ζευγάρι πραγματοποιεί δύο γέννες. Είναι ανεξάρτητες και κάθε μια φέρνει με ίδια πιθανότητα αγόρι ή κορίτσι και, επίσης ανεξάρτητα, μια οποιαδήποτε μέρα της εβδομάδας. Νομίζω όλα είναι καλώς ορισμένα και σαφή.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 26 Ιουνίου, 2020 @ 12:36 μμ
25,26,27: Νομίζω αυτό που μαθαίνει κανείς από αυτό το παράδειγμα είναι το ότι αν δώσουν επιπλέον πληροφορία, (που είναι καλώς ορισμένη) αυτό μπορεί εν γένη να αλλάξει την πιθανότητα που θέλουμε να βρούμε! Αυτό.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:23 μμ
Μιχάλη, όπως το θέτεις στο 27. είναι η Gender-neutral , Day of the week- neutral περίπτωση , δηλαδή έχεις επιλέξει τυχαία έναν πατέρα με δύο παιδιά. Κατόπιν του δόθηκε η εντολή να επιλέξει να αναφερθεί σε ένα από τα δύο τυχαία ,ρίχνοντας ας πούμε ένα κέρμα. Κατόπιν πρέπει να μεταφέρει την αληθινή πληροφορία σχετικά στη μορφή: «Έχω έναν/μία γιο/κόρη γεννημένο/γεννημένη την Δευτ/Τρίτη/…/Κυριακή. Αν η δηλωσή του είναι «έχω ένα γιο γεννημένο Τρίτη» ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο παιδί να είναι αγόρι;
Η απάντηση σ αυτή την περίπτωση είναι 1/2 . ( ο υπολογισμός υπάρχει στο paper της Τάνιας)
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:31 μμ
Κατά την ταπεινή μου γνώμη, όπως τίθεται το πρόβλημα αρχικά στην εκφώνηση («έχεις γιο;») το πρόβλημα ανάγεται στη δεύτερη περίπτωση «boy-centered, day of the week neutral” από το 2.2 της Τάνιας, και η απάντηση σ´αυτην την περίπτωση είναι 1/3.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:42 μμ
Μια τελευταία ερώτηση, Μιχάλη. Ποια θεωρείς τη σωστή απάντηση από το σχόλιο 13. του shortmanikos.;Προφανώς θεωρείς ότι αυτό το σχόλιο έλυσε το πρόβλημα, αφού αμέσως μετά την ανάρτηση του άλλαξες το tag σε «λυμένο», αλλά δεν είναι ξεκάθαρο για μένα ποια απάντηση θεωρείς τη σωστή.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 6:48 μμ
31: Από τα 3 που αναφέρει ο shortmanikos το τελευταίο είναι το πρόβλημα που ρώτησα. Άρα η απάντηση είναι 13/27.
29: Δεν υπάρχει τυχαίος πατέρας και δεν επιλέγει τυχαία κανένα παιδί. Ένας πατέρας είναι που εκτελεί την ίδια τυχαία πράξη (γέννα) δύο ανεξάρτητες φορές. Σε κάθε γέννα επιλέγεται τυχαία το φύλο και η μέρα, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Σε αυτό το πείραμα δεσμεύουμε ως προς το ενδεχόμενο μια από τις δύο γέννες να δώσει αγόρι που γεννήθηκε Τρίτη και ρωτάμε για την πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 26 Ιουνίου, 2020 @ 6:55 μμ
32. Δε συμφωνώ. Όταν ρωτάς «έχεις γιο;» ουσιαστικά δημιουργείς περιορισμένο δειγματικό χώρο. Συμφωνείς ότι σε τυχόν απάντηση του πατέρα «-Όχι» πρέπει να τον «διώξεις» (για να έχει νόημα η απάντηση του) και να επιλέξεις κάποιον άλλο πατέρα με 2 παιδιά που να έχει τουλάχιστον έναν γιο;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 7:20 μμ
Γιώργο, γιατί να επιλεξεις κάποιον άλλο πατέρα; Φαίνεται το μπέρδεψες. Αν σου πει όχι, τότε έχει δύο κόρες… Ο δειγματικός χώρος φαίνεται ξεκάθαρα στο
ένωση 
όπως το όρισα στο 8. Στο τέλος έκανα λάθος, αλλά το διόρθωσα στο 14. Modulo το ότι κάνουμε την υπόθεση ότι δεν έχει δίδυμα ο τρόπος μου είναι σωστός και μεθοδικός πιστεύω.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Ιουνίου, 2020 @ 7:37 μμ
Για μένα είναι ξεκάθαρο ότι όπως τίθεται το πρόβλημα στην εκφώνηση η σωστή απάντηση είναι 1/3 και όχι 13/27.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 11:09 μμ
Γιατί όμως πιστεύεις πως η απάντηση είναι 1/3;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 10:25 πμ
Κωνσταντίνε, το εξηγώ στο σχόλιο 30.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 27 Ιουνίου, 2020 @ 11:35 πμ
Θα έλεγα πως το πρόβλημα του καθηγητή ανάγεται στη περίπτωση: Boy centered, Tuesday centered procedure της Τάνιας. Όπως λέει, ένας πατέρας δύο αγοριών έχει γιο γεννημένο Τρίτη σε 13 περιπτώσεις. Γιατί είναι αυτή η αναγωγή του προβλήματος; Το καταλαβαίνουμε από τη δήλωση του πατέρα. Αυτή καθορίζει το δειγματικό χώρο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 12:01 μμ
Το
αποτελείται από όλα τα ζεύγη από παιδάκια, όπου δεν υπάρχει κανένα αγόρι που γεννήθηκε την Τρίτη. Είναι 162. Όλα αυτά είναι εκτός δειγματικού χώρου. Ο δειγματικός μας χώρος αποτελείται από 27 στοιχεία (ζεύγη) και τα 13 από αυτά έχουν δύο αγόρια εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι γεννημένο Τρίτη. Είναι trivial.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 12:12 μμ
Ωραίο θέμα, δεν κατάφερα να το δω νωρίτερα, αλλά με την ευκαιρία χαιρετώ θερμά τους παλιούς καλούς φίλους.
Αυτό που θα είχε νομίζω ενδιαφέρον να απαντηθεί τελικά είναι το γιατί όταν ο φίλος μας απαντά ότι έχει αγόρι γεννημένο Τρίτη μεταβάλλεται η πιθανότητα που ζητάμε σε 13/27 από 1/3 που λέμε πως είναι όταν απαντά ότι απλά έχει αγόρι (χωρίς να αναφέρει τη μέρα γέννησης). Τι είναι δηλαδή αυτό που αλλάζει τη ζητούμενη πιθανότητα στην περίπτωση που γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένη μέρα γέννησης (Τρίτη ή Δευτέρα ή Τετάρτη κ.ο.κ. αδιάφορο; ό,τι κι αν ήταν πάλι στο 13/27 θα καταλήγαμε..) σε σύγκριση με την απουσία τέτοιας αναφοράς, αφού είτε έτσι είτε αλλιώς ξέρουμε ότι ο φίλος έχει το ένα τουλάχιστον από τα δύο του παιδιά αγόρι, γεννημένο προφανώς κάποια μέρα της βδομάδας;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 23 Αυγούστου, 2020 @ 12:42 πμ
Πριν πω τη γνώμη μου να κάνω μια παραλλαγή της ερώτησης που ίσως βοηθήσει:
γιατί όταν ο φίλος μας απαντά ότι έχει αγόρι γεννημένο πρώτο από τα δύο παιδιά του μεταβάλλεται η πιθανότητα που ζητάμε σε 1/2 από 1/3 που λέμε πως είναι όταν απαντά ότι απλά έχει αγόρι (χωρίς να αναφέρει τη σειρά γέννησης). Τι είναι δηλαδή αυτό που αλλάζει τη ζητούμενη πιθανότητα στην περίπτωση που γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένη σειρά γέννησης (πρώτο ή δεύτερο αδιάφορο; ό,τι κι αν ήταν πάλι στο 1/2 θα καταλήγαμε..) σε σύγκριση με την απουσία τέτοιας αναφοράς, αφού είτε έτσι είτε αλλιώς ξέρουμε ότι ο φίλος έχει το ένα τουλάχιστον από τα δύο του παιδιά αγόρι, γεννημένο προφανώς ή πρώτο ή δεύτερο; Θα άλλαζε το πρόβλημα αν εκεί που μιλούσαμε με τον φίλο μας μας έδειχνε και μια φωτογραφία του γιου του;
ΥΓ στα προβλήματα με δύο ζάρια διαλέγουμε ένα από τα δύο, το «βαφτίζουμε» πρώτο και με βάση την αυθαίρετη βάφτιση υπολογίζουμε πιθανότητες…
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από shortmanikos — 23 Αυγούστου, 2020 @ 1:46 πμ
Νομίζω όμως πως δεν είναι το ίδιο. Αυτό που αναφέρει ο shortmanikos είναι αυτό που εξετάζει ο Μιχάλης στο βίντεο (βλ. σχόλιο 1), ενώ αυτό που λέει ο Θανασης,
(ή τουλάχιστον αφήνει να νοηθεί) είναι πως όλες οι ημέρες της βδομάδας λειτουργούν συμμετρικά ως προς το ενδεχόμενο που εξετάζουμε.
Σχετικά με το σχόλιο 41. αν έχει αγόρι γεννημένο πρώτο, έχουμε ανεξαρτησία ενδεχομένων ενώ στην άλλη περίπτωση υπολογίζουμε δεσμευμένη πιθανότητα.
Όμως εξ’όσων καταλαβαίνω, Θανάση, εννοείς πως η πληροφορία αυτή η επιπλέον που μας δίνεται στο πρόβλημα, η ημέρα γέννησης, δεν έπρεπε να επηρεάζει το
αποτέλεσμα (ή τουλάχιστον θέτεις το εύλογο αυτό ερώτημα) , αφού ούτως ή άλλως κάποια μέρα της βδομάδας θα γεννιότανε το αγόρι. Είναι πιο «λεπτό» το ερώτημα
του Θανάση έχω την εντύπωση… (ομολογώ πως και εγώ το έθεσα στον εαυτό μου)
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Αυγούστου, 2020 @ 5:56 μμ
Ωραία το θέτεις Κωνσταντίνε, η απορία μου είναι ότι ενώ δεν αμφισβητώ τη ‘λογιστική’ της πιθανότητας 13/27, όταν μαθαίνω τη μέρα γέννησης, ταυτόχρονα δεν καταλαβαίνω τι είναι αυτό που κάνει αυτή την πληροφορία σημαντική, ενώ λογικά φαντάζει αδιάφορη..
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 23 Αυγούστου, 2020 @ 7:58 μμ
Ναι, ακριβώς. Σε ευχαριστούμε που το έθεσες!
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Αυγούστου, 2020 @ 8:41 μμ
Η δική μου οπτική είναι η εξής:
Η σειρά γέννησης έχει μία ιδιότητα που την καθιστά «διαφορετική», διατάσσει/διαχωρίζει τις γέννες – δεν μπορεί και τα δύο παιδιά να είναι πρώτα. Μια οποιαδήποτε πληροφορία που έχει αυτή την ιδιότητα αυτομάτως κάνει την πιθανότητα 1/2. Πχ αντί για «το πρώτο παιδί είναι αγόρι» θα μπορούσε να είναι «το ομορφότερο παιδί είναι αγόρι», «το ψηλότερο παιδί είναι αγόρι», «αυτό που έχει γεννηθεί το 2000 είναι αγόρι» (το «αυτό που» υποδηλώνει ότι το άλλο δεν έχει αυτή την ιδιότητα). Σκεφτείτε το παράδειγμα με δύο ζάρια όπου αυθαίρετα επιλέγω τη σειρά που τα γράφω. Ας έρθουμε τώρα στο παράδειγμα με τη μέρα γέννησης και το γιατί αλλάζει την πιθανότητα. Ισχυρίζομαι ότι η μέρα γέννησης δημιουργεί και αυτή ένα διαχωρισμό στις δύο γέννες, απλά ο διαχωρισμός αυτός δεν είναι βέβαιος αλλά πιθανός. Υπάρχει μια πιθανότητα $p_1$ (με δεδομένο ότι έχουμε ένα αγόρι γεννημένο Τρίτη) το άλλο παιδί να μην έχει γεννηθεί Τρίτη. Αν βρισκόμαστε σε αυτή την περίπτωση τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να ξέρω τη σειρά της γέννησης – το παιδί της Τρίτης είναι αγόρι, το άλλο έχει 1 στις 2. Είναι σαν να ρίχνω δύο ζάρια, ένα μαύρο και ένα άλλου χρώματος, αν το μαύρο έχει φέρει ζυγό, ποιά η πιθανότητα να έχω φέρει δύο ζυγούς; Αν είμαστε στην περίπτωση που και τα δύο παιδιά γεννήθηκαν Τρίτη ($1-p_1$) τότε όντως η πιθανότητα δεν έχει λόγο να αλλάξει. Αν το δούμε έτσι η νέα πιθανότητα είναι $ p_1 cdot \frac{1}{2} + (1-p_1) \cdot \frac{1}{3} $), οπότε είναι φυσιολογικό να πλησιάζει το 1/2 (όσο το $ p_1 $ πλησιάζει το 1).
Για το παράδειγμα της Τρίτης $ p_1 = \frac{24}{27} $ (η πιθανότητα να έχω μόνο ένα παιδί γεννημένο Τρίτη με δεδομένο ότι έχω ένα αγόρι γεννημένο Τρίτη).
Για αυτό έβαλα το ερώτημα: Θα άλλαζε το πρόβλημα αν εκεί που μιλούσαμε με τον φίλο μας μας έδειχνε και μια φωτογραφία του γιου του;
Η φωτογραφία δημιουργεί διαχωρισμό των γεγονότων. Έχω δικαίωμα να θεωρήσω πρώτη γέννα στο δειγματοχώρο αυτή του παιδιού του οποίου είδα τη φωτογραφία – με την ίδια λογική που στα δύο ζάρια επιλέγω ένα από τα δύο και το γράφω πρώτο.
Το πρόβλημα της «συμμετρικότητας» υπάρχει και στη σειρά γέννησης. Διαβάστε αν θέλετε το διάλογο με τον Jack από το paper της κ. Khovanova και βάλτε τη να λέει:
Me: Αν έλεγε ότι ο γιος είναι ο δεύτερος;
Me: Αν έλεγε, “Το *ο μου παιδί είναι .” δεν ακούς καθαρά αν είπε πρώτο ή δεύτερο.
Me: Πες ότι λέει “ Έχω ένα γιο. Είναι από τα παιδιά μου το…”. Οπότε μπορεί να έλεγε το πρώτο, μπορεί να έλεγε και κάτι άσχετο (το πιο φαγανό)
Μάλιστα νομίζω αυτός είναι και ο λόγος που πολλοί απορρίπτουν τελείως το 1/3 σαν απάντηση.
ΥΓ Αν καταλάβατε το σκεπτικό μου θεωρώ ότι στην περίπτωση “ Έχω ένα γιο. Είναι από τα παιδιά μου το πιο φαγανό” η πιθανότητα είναι 1/2 🙂
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από shortmanikos — 25 Αυγούστου, 2020 @ 12:54 πμ
Καλησπέρα στη παρέα κι από εμένα. Γράφω κι εγώ τη γνώμη μου για τις απαντήσεις στα δύο προβλήματα που τέθηκαν αρχικά.
Στο πρώτο πρόβλημα ο πατέρας υποχρεούται να μιλήσει για τον γιο του (αν έχει). Οπότε η απάντηση είναι το κλασικό 1/3. Η περίπτωση ταιριάζει με την παράγραφο 1.2 (i) στο ωραίο paper που παρέθεσε ο Γιώργος Ριζόπουλος.
Το δεύτερο πρόβλημα κατά τη γνώμη μου δεν είναι καλά ορισμένο επειδή δεν διευκρινίζεται σε ποια περίπτωση ο πατέρας θα ανέφερε τη μέρα γέννησης του γιου του. Αν ο πατέρας ανέφερε τη μέρα γέννησης του γιου του όποια κι αν ήταν αυτή τότε η πιθανότητα για δύο γιους παραμένει στο 1/3, αφού η πληροφορία της ημέρας γέννησης γίνεται αδιάφορη. Η περίπτωση ταιριάζει με την παράγραφο «Boy-Centered, Day-of-the-Week-Neutral Procedure» στο paper.
Αν όμως ο πατέρας θα ανέφερε την ημέρα γέννησης του γιου του μόνο αν αυτή ήταν Τρίτη και αυτό θα γινόταν ακόμα και αν είχε δύο γιους που έχουν γεννηθεί διαφορετικές ημέρες, τότε η περίπτωση ταιριάζει με αυτήν που αναφέρεται στην παράγραφο «Boy-Centered, Tuesday-Centered Procedure» στο paper και η πιθανότητα για δύο γιους γίνεται 13/27.
Έκανα και έναν υπολογισμό της τελευταίας αυτής περίπτωσης με δεσμευμένη πιθανότητα:
Δίνω τους παρακάτω συμβολισμούς στα εξής Ενδεχόμενα:
απ = Απάντηση «Έχω γιο και έχει γεννηθεί Τρίτη» στην ερώτηση έχεις γιο;
ΑΑ = Έχει δύο αγόρια
ΑΚ = Το πρώτο του παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι
ΚΑ = Το πρώτο του παιδί είναι κορίτσι και το δεύτερο αγόρι
ΚΚ = Έχει δύο κορίτσια
Με Ρ(Ενδεχόμενο) συμβολίζω την πιθανότητα να συμβεί το αναφερόμενο Ενδεχόμενο. Θεωρούμε πως η πιθανότητα να προκύψει ο κάθε συνδυασμός δύο παιδιών είναι η ίδια, δηλαδή Ρ(ΑΑ) = Ρ(ΑΚ) = Ρ(ΚΑ) = Ρ(ΚΚ) = 1/4. Η πιθανότητα να γεννηθεί ένα παιδί μια συγκεκριμένη ημέρα είναι 1/7.
Μετασχηματίζω το ερώτημα στο εξής ισοδύναμό του:
Με δεδομένο ότι ισχύει το απ ποια είναι η πιθανότητα του ΑΑ ;
Παίρνω τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας:
Ρ(ΑΑ|απ) = Ρ(ΑΑ ∩ απ) / Ρ(απ)
Για να ισχύουν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα ΑΑ και απ θα πρέπει ο πατέρας να έχει δύο γιους και τουλάχιστον ένας από αυτούς να έχει γεννηθεί Τρίτη. Η πιθανότητα της τομής αυτών των δύο ενδεχομένων είναι:
Ρ(ΑΑ ∩ απ) = (1/4)*[1-(6/7)*(6/7)] = (1/4)*(13/49)
Για τον παρανομαστή Ρ(απ) διακρίνω περιπτώσεις:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(απ) = 1-(6/7)*(6/7) = 13/49
(δηλαδή στην περίπτωση που ισχύει το ενδεχόμενο ΑΑ, η απάντηση απ δίνεται αν τουλάχιστον ένας γιος του έχει γεννηθεί Τρίτη)
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(απ) = 1/7
(δηλαδή στην περίπτωση που έχει έναν μόνο γιο, η απάντηση απ δίνεται αν αυτός έχει γεννηθεί Τρίτη)
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(απ) = 1/7
(ομοίως με το 2)
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(απ) = 0
(δηλαδή αν έχει δύο κόρες, η απάντηση απ δεν δίνεται σε καμία περίπτωση)
Άρα συνολικά: Ρ(απ) = (1/4)*(13/49) + (1/4)*(1/7) + (1/4)*(1/7) + (1/4)*0 = (1/4)*(27/49)
Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|απ) = [(1/4)*(13/49)] / [(1/4)*(27/49)] = 13/27
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pantsik Grifoi — 2 Σεπτεμβρίου, 2020 @ 6:41 μμ
Στην δευτερη περιπτωση δεν θα μπορουσε να ειναι 0 η πιθανοτητα? Αφου λεει «εχει γεννηθει Τριτη» αρα εχει ενα γιο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από w0oDy21 — 11 Δεκεμβρίου, 2020 @ 7:52 μμ
47: Το ότι συμβαίνει η πληροφορία που δίδει το πρόβλημα, δεν αποκλείει στην τελική απάντηση την συνύπαρξη της με κάτι άλλο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 15 Δεκεμβρίου, 2020 @ 9:22 πμ
Το πρόβλημα μόλις διαπίστωσα από το blog του Τάο, πως έχει ονομασία στη «φιλοσοφία», (μαθηματική φιλοσοφία
να ονομάζεται άραγε;) και ονομάζεται «ωραία κοιμωμένη (!)» (in layman’s terms)
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 8 Οκτωβρίου, 2022 @ 5:11 μμ