Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 21, 2011

Γραμμική κοντά στο μηδέν

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:46 πμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον nixmtp.

Έστω f:\mathbb R\to\mathbb R μια συνάρτηση που στέλνει συγκλίνουσες σειρές σε συγκλίνουσες σειρές. Δηλαδή, αν η σειρά \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}x_n συγκλίνει, τότε και η \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f(x_n) συγκλίνει. Δείξτε ότι υπάρχουν \delta>0 και c\in\mathbb R έτσι ώστε f(x)=cx για κάθε x\in(-\delta,\delta).

Ιουλίου 20, 2011

Κύλινδροι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:08 μμ

Μπορείτε να καλύψετε τον χώρο με μια αριθμήσιμη οικογένεια κυλίνδρων οι οποίοι έχουν άπειρο μήκος και εμβαδό διατομής s_n, όπου \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}s_n<+\infty;

Ιουλίου 19, 2011

Υποσύνολα φυσικών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:26 μμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Δημήτρη Απατσίδη.

Δείξτε ότι υπάρχει μια μη αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του \mathbb{N} τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε δύο εξ’ αυτών να είναι πεπερασμένο σύνολο.

Ιουλίου 13, 2011

Αναδρομική εξίσωση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:50 πμ

Βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας x_n, αν x_1=0,\ x_2=1 και

\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{1}{n}x_{n-1}, για n=2,3,\ldots.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: