Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 27, 2009

Θετικό μήκος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:42 πμ

Υπάρχει σύνολο θετικού μήκους το οποίο να μην είναι ισοπληθικό με το \mathbb R;

Μαρτίου 22, 2009

Τελείως ανώμαλη

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:20 μμ

Στην άσκηση άπειρο ολοκλήρωμα είδατε ότι πάνω σε οποιοδήποτε υποσύνολο τού \mathbb R με θετικό μήκος, υπάρχει πραγματική συνάρτηση με άπειρο ολοκλήρωμα. Είναι αλήθεια ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση με άπειρο ολοκλήρωμα πάνω σε κάθε διάστημα;

Μαρτίου 16, 2009

Δύναμη του 2

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 12:40 μμ

Δείξτε ότι υπάρχει k\in\mathbb{N} ώστε τα 2000 τελευταία ψηφία του 2^k (στο δεκαδικό σύστημα) να είναι είτε 1 είτε 2.

Μαρτίου 14, 2009

Ισομετρία

Έστω A\subset \mathbb R κλειστό και φραγμένο, και f:A\to A μια συνάρτηση τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|=|x-y| για κάθε x,y. Δείξτε ότι η f είναι επί.

Μαρτίου 12, 2009

Ένας χρόνος «Προβλήματα Μαθηματικών»

Filed under: Γενικά Σχόλια — Mihalis Kolountzakis @ 10:25 μμ

stats

Σήμερα έκλεισε ένας χρόνος λειτουργίας αυτού του blog μαθηματικών προβλημάτων. 166 posts (προβλήματα) και 780 σχόλια χρηστών μετά μπορώ να πω ότι το έχω απολαύσει. Είμαι σίγουρος ότι το ίδιο ισχύει και για τους συ-συγγραφείς μου, Θέμη και Μιχάλη. Για μένα είναι πλέον ένα ουσιαστικό κομμάτι της διδακτικής δουλειάς μου απαλλαγμένο από βαθμολογικά συστήματα, διδακτέα ύλη, εξετάσεις, επιτηρήσεις, κλπ, αλλά και δυστυχώς στερημένο της προσωπικής επαφής.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους συμμετέχουν ενεργά λύνοντας προβλήματα. Χωρίς εσάς το blog θα είχε σβήσει. Εξ αιτίας της συμμετοχής σας το blog προκόβει.

Χρόνια μας πολλά.

Μαρτίου 11, 2009

Κομπολόι από σωματίδια

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 10:02 μμ

Φτιάχνουμε ένα κομπολόι από σωματίδια ύλης και αντιύλης με τους εξής κανόνες:

1. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σωματίδια α, β, αντί-α και αντί-β.

2. Ξεκινάμε από ένα άδειο κομπολόι και κάθε δεπτερόλεπτο προσθέτουμε ένα από τα παραπάνω σωματίδια επιλέγοντάς το τυχαία.

3. Αν κάποιο σωματίδιο α βρεθεί δίπλα σε κάποιο σωματίδιο αντί-α αυτά εξαφανίζονται. Το ίδιο συμβαίνει και για τα β και αντί-β. Όλες οι υπόλοιπες γειτνιάσεις είναι επιτρεπτές.

Δείξτε ότι η πιθανότητα να αδειάσει κάποια στιγμή (>0) το κομπολόι είναι 1/3.

Μαρτίου 10, 2009

Αναλλοίωτο σύνολο

Έστω K\subset\mathbb R κλειστό & φραγμένο, και f:K\to K μια συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει σύνολο A\subset K μη κενό & κλειστό, το οποίο η συνάρτηση αφήνει αναλλοίωτο, δηλαδή f(A)=A.

Μαρτίου 5, 2009

Μετρήσιμοι δίσκοι

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 12:10 μμ

Είναι αλήθεια ότι η ένωση μιας αυθαίρετης οικογένειας κλειστών δίσκων στο επίπεδο είναι πάντα μετρήσιμο σύνολο;

Μαρτίου 3, 2009

Σημεία μέσα σε κύκλο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:23 πμ

Για ένα άπειρο αριθμήσιμο σύνολο σημείων L \subseteq {\mathbf R}^2, με την ιδιότητα ότι κάθε δύο σημεία του L απέχουν μεταξύ τους τουλάχιστον 1, δείξτε ότι για κάθε n μπορείτε να βρείτε κύκλο που έχει στο εσωτερικό του ακριβώς n σημεία του L.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: