Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 25, 2009

Διαταραχή τάξης 1

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:07 μμ

Θεωρούμε δύο διανύσματα x,y\in\mathbb{R}_{*}^n και τον n\times n πίνακα \Pi με \Pi_{ij}=x_iy_j. Ποια είναι η ορίζουσα του F(\epsilon)=I+\epsilon\Pi; Για εκείνες τις τιμές του \epsilon που ο F(\epsilon) είναι αντιστρέψιμος, ποιός είναι ο αντίστροφός του ; 

Ιανουαρίου 23, 2009

Υπουργικό συμβούλιο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 2:09 πμ

Ένας νεοεκλεγείς πρόεδρος σε μια μεγάλη χώρα με πληθυσμό από λευκούς και έγχρωμους (=όλοι οι μη λευκοί) θέλει να ορίσει το υπουργικό του συμβούλιο. Θέλει να χρησιμοποιήσει αυτή του την πράξη ώστε, μεταξύ άλλων, να προωθήσει τη συνεργασία λευκών και έγχρωμων στη χώρα του. Γι’ αυτό θεσπίζει τον εξής κανόνα:

κάθε λευκό μέλος του υπουργικού συμβουλίου θα πρέπει να έχει τουλάχιστον τόσους έγχρωμους συνεργάτες όσους και λευκούς και, ομοίως, κάθε έγχρωμο μέλος θα πρέπει να έχει τουλάχιστον τόσους λευκούς συνεργάτες όσους και έγχρωμους.

Οι θέσεις του υπουργικού συμβουλίου είναι δεδομένες όπως και το ποιος συνεργάζεται με ποιον (π.χ. ο υπουργός Οικονομικών συνεργάζεται με όλους, ο υπουργός Άμυνας δε συνεργάζεται με τον υπουργό Γεωργίας, κλπ).

Ο ίδιος ο πρόεδρος είναι κι αυτός μέλος του υπουργικού συμβουλίου και είναι έγχρωμος.

Δείξτε ότι μπορεί πάντα να επιλέξει υπουργούς του κατάλληλου χρώματος ώστε να πετύχει το σκοπό του αυτό.

Ιανουαρίου 21, 2009

Ένα παλιό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:10 πμ

lightbulbΕίμαστε στο 1960.

Ένας ηλεκτρολόγος επιθεωρεί ένα παλιό σπίτι και βρίσκεται στο υπόγειό του όπου υπάρχουν 3 διακόπτες, στη θέση off. Ακριβώς ένας από αυτούς ανοιγοκλείνει μια λάμπα στον 1ο όροφο (οι άλλοι δύο διακόπτες είναι νεκροί) και πρέπει να βρει ποιος διακόπτης είναι αυτός.

Επιτρέπεται να ανέβει στον 1ο όροφο μόνο μια φορά. Δεν έχει καθόλου εργαλεία ή όργανα και δε βλέπει το φως του 1ου από το υπόγειο. Πώς θα το κάνει;

Ιανουαρίου 16, 2009

Ισόπλευρα τρίγωνα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:38 πμ

Δείξτε ότι δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο στο επίπεδο του οποίου οι κορυφές έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Ιανουαρίου 8, 2009

Ανασχηματισμός και οικονομία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:51 μμ

kathimerini

Μετά από ένα πρόσφατο ανασχηματισμό της κυβέρνησης ο νέος υπουργός Οικονομίας είναι αποφασισμένος να πατάξει τη γραφειοκρατία και να απλοποιήσει όσο μπορεί τη φορολογική νομοθεσία. Η πρώτη ιδέα που του έρχεται στο μυαλό είναι να επιτρέψει σε κάθε επιχείρηση να στρογγυλεύει τα διάφορα ποσά που καταγράφει στα έξοδά της στο επίπεδο του 1 ευρώ. (more…)

Ιανουαρίου 3, 2009

Τρίγωνα και χρώματα

Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρούμε την επιφάνεια του τριγώνου σε μικρότερα τρίγωνα έτσι ώστε αυτά να έχουν είτε μια κοινή πλευρά, είτε μια κοινή κορυφή είτε κανένα κοινό σημείο, όπως π.χ. στο σχήμα.

triangulation1

Βάφουμε τις κορυφές των τριγώνων που προκύπτουν ως εξής: οι κορυφές που βρίσκονται επί της ΑΒ βάφονται κίτρινες ή μπλε, οι κορυφές επί της ΒΓ βάφονται μπλε ή κόκκινες, και εκείνες επί της ΑΓ βάφονται κίτρινες ή κόκκινες. Οι υπόλοιπες κορυφές βάφονται με οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα.

Δείξτε ότι ένα τουλάχιστον από τα μικρά τρίγωνα έχει κορυφές βαμμένες με διαφορετικά χρώματα.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: