Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 12, 2017

Υπερκύβος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:40 μμ

Tο πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Ο mδιάστατος υπερκύβος Q_m είναι το γράφημα με σύνολο κομβών όλα τα δυαδικά διανύσματα μήκους m. Δύο κόμβοι είναι συνδεδεμένοι με ακμή ακριβώς όταν διαφέρουν σε μία θέση οι συντεταγμένες τους. Ο γράφος ορίζεται αναδρομικά, αν πάρουμε δύο αντίτυπα μιας διάστασης μικρότερης (δηλαδή δύο Q_{m-1}), θέσουμε την πρώτη συντεταγμένη του ενός αντιτύπου να είναι 0 και του δεύτερου 1, και ακολούθως ενώσουμε τις αντίστοιχες κορυφές. Θα μπορούσαμε όμως αυτό να το κάναμε με οποιαδήποτε άλλη από τη πρώτη συντεταγμένη, έτσι έχουμε συνολικά 2m υποκύβους μιας διάστασης μικρότερης (Υποκύβος ονομάζεται οποιοσδήποτε υπερκύβος μικρότερης διάστασης που είναι υπογράφημα στο Q_m ).

Στο Q_m υπάρχουν υποκύβοι Q_j όλων των διαστάσεων, για 1\leq j\leq m . Πόσοι είναι αυτοί για κάθε j; Αν αθροίσουμε τις ακμές όλων των υποκύβων από j=1 έως m, ποιό είναι το αποτέλεσμα;

Υποόδειξη: Υπολογίστε το ζητούμενο άθροισμα με τον προφανή τρόπο, αφού βρείτε πρώτα το πλήθος των υποκύβων διάστασης j , και πόσες ακμές έχει οποιοδήποτε από τα Q_j. Ακολούθως εκφράστε ξανά το ζητούμενο άθροισμα, αναλογιζόμενοι το πόσες φορές προσμετράται μια οποιαδήποτε ακμή, χρησιμοποιώντας ένα συμμετρικό επιχείρημα. Απλοποιήστε. Τί παρατηρείτε;

 

Advertisements

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: