Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 23, 2014

Συνέχεια και τοπικά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:51 πμ

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό και να μην είναι σταθερή (π.χ. η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος (-\infty, 0)).

Υπάρχει ή όχι συνεχής  μη σταθερή συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό;

Απριλίου 20, 2014

Αναγκαστικά ισομετρία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 3:12 πμ

Μια συνεχής συνάρτηση f:X\to X από ένα συμπαγή μετρικό χώρο στον εαυτό του έχει την ιδιότητα ότι δε μικραίνει τις αποστάσεις:

Για κάθε x, y \in X έχουμε d(f(x), f(y)) \ge d(x, y) (εδώ d(\cdot,\cdot) είναι η μετρική του χώρου X).

Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία: d(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y \in X.

(Αν έχετε πρόβλημα με την έννοια «συμπαγής μετρικός χώρος» μπορείτε να σκέφτεστε το X σαν ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Ευκλείδιου χώρου με τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική.)

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: