Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 31, 2008

Εξίσωση 5ου βαθμού

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:23 πμ

Δύο από τις λύσεις της εξίσωσης 

\displaystyle x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1=0

είναι αντίστροφοι αριθμοί. Βρείτε όλες τις λύσεις της.

Advertisements

Δεκέμβριος 25, 2008

Άπειρο ολοκλήρωμα

Έστω A\subset\mathbb R ένα σύνολο θετικού μέτρου. Δείξτε ότι υπάρχει πραγματική, μετρήσιμη συνάρτηση f τέτοια ώστε \displaystyle\int_A|f|=+\infty.

Δεκέμβριος 23, 2008

Άπειρο γινόμενο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:45 μμ

Ορίζουμε αναδρομικά την ακολουθία \{\alpha_n\} ως εξής:

\alpha_0\ge -1 και \alpha_n=\sqrt{\frac{1+\alpha_{n-1}}{2}}, για κάθε n\in\mathbb{N}. Υπολογίστε το όριο \displaystyle L(\alpha_0)=\lim_{n\to\infty}\prod_{j=1}^{n}\alpha_j.

 

Δεκέμβριος 18, 2008

Κυματισμός υπό έλεγχο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:48 πμ

Δείξτε ότι υπάρχει μια θετική σταθερά M<\infty τέτοια ώστε για κάθε 0<A<B<\infty να ισχύει

\displaystyle {\left| \int_A^B \frac{\sin x}{x} \,dx \right| \le M}.

Δεκέμβριος 17, 2008

2009 ρίζες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 9:02 μμ

Θεωρήστε το πολυωνύμο

P(x)=x^{2009}-2x^{2008}+2x^{2007}+....

(οι υπόλοιποι όροι είναι μικρότερου βαθμού.) Μπορεί να έχει μόνο πραγματικές ρίζες;

Δεκέμβριος 15, 2008

Παιχνίδια του μυαλού

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 1:03 πμ

Πρόκειται για ένα πείραμα εξωαισθητήριας αντίληψης (ExtraSensory Perception.) 

telapathy

 

(more…)

Μπείτε στη σειρά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 12:29 πμ

queue

N ρομπότ βρίσκονται σε μια πόλη (N τεράστιο) και πρέπει να πάνε στο γιατρό. Κάθε ένα από αυτά ξέρει ποιο ρομπότ είναι το αμέσως προηγούμενό του (αυτό που θα μπει στο ιατρείο δηλ. αμέσως πριν από αυτό), και φυσικά το ρομπότ που θα μπει πρώτο το γνωρίζει.

Τα ρομπότ είναι πολυάσχολα και δεν τους αρέσει να σπαταλάνε το χρόνο τους, γι’ αυτό και το κάθε ρομπότ θέλει να μάθει ποια είναι η σειρά του (αν είναι το 1ο που θα μπει, το 2ο, το τελευταίο κλπ). Θέλουν λοιπόν, συνεργαζόμενα μεταξύ τους, να υπολογίσει το κάθε ένα τη σειρά του.

Οποιοδήποτε ρομπότ μπορεί να επικοινωνήσει (ασύρματα) με οποιοδήποτε άλλο. Επίσης όλα τα ρομπότ είναι συγχρονισμένα, κάνουν δηλ. από μια λογική πράξη κάθε δευτερόλεπτο.

Ένας απλός τρόπος είναι ο 1ος να το πει στον 2ο, ο 2ος στον 3ο κ.ο.κ. Αυτός ο τρόπος παίρνει χρόνο ανάλογο του N για να υπολογίσει τη σειρά του καθενός.

Βρείτε ένα τρόπο να γίνει αυτός ο υπολογισμός πολύ πιο γρήγορα.

Δεκέμβριος 13, 2008

Διαφορές προς αποφυγή

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:22 πμ

Ας είναι { D=\{d_1<d_2<\cdots<d_k\} \subseteq {\mathbb N} = \{1,2,3,\ldots\} }. Κατασκευάστε σύνολο {\Lambda \subseteq {\mathbb N}} τέτοιο ώστε

{\lambda - \mu \notin D} για \lambda, \mu \in \Lambda

και

\displaystyle \frac{|\Lambda \cap [1,n]|}{n} \ge \frac{1}{k+1} για άπειρα n.

Δεκέμβριος 12, 2008

Προγραμματισμός με τα χέρια δεμένα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:24 μμ

hands

Γράψτε ένα πρόγραμμα (αν θέλετε σε ψευδοκώδικα ή και σε μια πραγματική γλώσσα προγραμματισμού) το οποίο να υπολογίζει το πηλίκο της διαίρεσης του x διά 2, με άλλα λόγια το ακέραιο μέρος του x/2, για x=1,2,3,\ldots.

Το πρόγραμμά σας επιτρέπεται να έχει (α) μόνο μια δομή ανακύκλωσης: ένα και μόνο for loop, μια ανακύκλωση δηλ. της μορφής

for i=1 to a do { εντολές ... },

και (β) να μη χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμό (μόνο πρόσθεση).

Όλες οι άλλες μορφές προγραμματισμού που δε γυρίζουν τη ροή του προγράμματος προς τα πίσω επιτρέπονται, όπως  π.χ. εντολές της μορφής

  • x <- x + y
  • if( συνθήκη ) then { εντολές }
  • x <- x+2

Τεχνικά προβλήματα στο wordpress.com

Filed under: Γενικά Σχόλια — Mihalis Kolountzakis @ 11:52 πμ

Τελευταία το wordpress.com έκανε κάποια αναβάθμιση στο software του και φαίνεται ότι υπάρχουν κάποια προβλήματα. Το κυριότερο πρόβλημα είναι ότι μερικά σχόλια δεν αναρτώνται αμέσως αλλά στέλνονται στον moderator (εμένα δηλ.) για έγκριση. Αυτό δε θα έπρεπε να συμβαίνει (σύμφωνα με τα settings του blog) αλλά παρ’ όλ’ αυτά συμβαίνει μερικές φορές.

Θα ήθελα να παρακαλέσω λοιπόν αν γράψετε κάποιο σχόλιο και δεν εμφανιστεί αμέσως μην το ξαναγράψετε αλλά περιμένετε να το εγκρίνω. Κοιτάω το e-mail μου πολύ συχνά αλλά μετά από μια βδομάδα περίπου (μέσα στις γιορτές δηλ.) θα υπάρχουν και περίοδοι που δε θα το δώ για 2-3 μέρες, οπότε υπομονή (το καλό πράγμα αργεί να γίνει).

Ένα πιο σπάνιο πρόβλημα είναι ότι μερικά σχόλια χαρακτηρίζονται λανθασμένα ως spam. Αν αυτό συμβεί σε κάποιο σχόλιό σας και το καταλάβετε (δεν είμαι σίγουρος για το αν όταν υποβάλετε σχόλια που κρατούνται για έγκριση αυτό σας γίνεται γνωστό εκείνη τη στιγμή) στείλτε μου προσωπικό e-mail.

Δεκέμβριος 8, 2008

Συνθετική τετραγωνική ρίζα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:22 πμ

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση {f:{\mathbb R} \to {\mathbb R}} τέτοια ώστε για κάθε {x \in {\mathbb R}} να ισχύει

{e^x = f(f(x))};

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Βύρωνα Βελλή.

Δεκέμβριος 5, 2008

Καλύπτεται;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 7:34 μμ

Γύρω από κάθε ρητό αριθμό \frac{p}{q}\in (0,1] θεωρήστε συμμετρικά ένα κλειστό διάστημα εύρους \frac{1}{2q^2}. Καλύπτει η ένωση όλων αυτών των διαστημάτων το (0,1];

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: