Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 30, 2012

Σταθερή συνάρτηση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:02 μμ

Το πρόβλημα αυτό το προτείνει ο Γιώργος Παπαδόπουλος.
Έστω f:\mathbb R\to\mathbb R μια συνάρτηση τέτοια ώστε
\displaystyle{\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}=0}
για κάθε x. Δείξτε ότι η f είναι σταθερή.

Τετράγωνα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:55 μμ

Το πρόβλημα αυτό το προτείνει ο Γιώργος Παπαδόπουλος.
Δείξτε ότι δεν μπορεί να δημιουργηθεί τετράγωνο πλευράς 1 από 5 τετράγωνα πλευρών <1/2.

Ιανουαρίου 16, 2012

Συμμετρίες περιοδικών συνόλων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:03 πμ

Έστω E σύνολο στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα 0\neq v \in {\mathbb R}^2 ονομάζεται περίοδος του E αν E+v = E, αν δηλ. το E απεικονίζεται επί του εαυτού του αν το μεταφέρουμε κατά v. Ένα σύνολο το ονομάζουμε περιοδικό αν έχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητες περιόδους.

Ας είναι E ένα σύνολο του επιπέδου που τα στοιχεία του απέχουν ανά δύο τουλάχιστον \epsilon, μια θετική σταθερά (τέτοια σύνολα τα ονομάζουμε καμιά φορά ομοιόμορφα διακριτά). Αν το E είναι περιοδικό δείξτε ότι δε μπορεί να είναι αναλλοίωτο μετά από στροφή κατά 2\pi/5 γύρω από την αρχή των αξόνων.

Ιανουαρίου 12, 2012

Τα αόρατα ακέραια σημεία του επιπέδου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:39 μμ

Στεκόμαστε στο σημείο (0, 0) του επιπέδου και κοιτάμε γύρω μας τα ακέραια σημεία του επιπέδου, τα σημεία δηλ. που έχουν και τις δύο συντεταγμένες τους ακέραιες. Αν (x, y), (z, w) είναι δύο τέτοια σημεία και (z, w) = \lambda (x, y) για κάποιο \lambda > 1 τότε το σημείο (z, w) είναι αόρατο σε μας (αφού η ακτίνα του φωτός που ξεκινάει από αυτό και κατευθύνεται προς εμάς κόβεται στο σημείο (x, y) που βρίσκεται ανάμεσά μας).

Δείξτε ότι το σύνολο των αόρατων ακέραιων σημείων του επιπέδου περιέχει οσοδήποτε μεγάλα κομμάτια, περιέχει δηλ., για κάθε N>0 ένα σύνολο της μορφής

Q(x, y) = \{ (x+i, y+j): i, j=1,2,\ldots,N \}

για κατάλληλα επιλεγμένα ακέραια x, y.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: