Προβλήματα Μαθηματικών

29 Νοεμβρίου, 2009

Σε κάθε κατεύθυνση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:27 πμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τη Λίλιαν.

Μπορείτε να κατασκευάσετε μια συνάρτηση f:\mathbb R^2\to\mathbb R τέτοια ώστε:

1. Το όριο τής f καθώς πλησιάζουμε τον x-άξονα κατά μήκος οποιασδήποτε κάθετης ευθείας είναι 0.
2. Το όριο τής f καθώς πλησιάζουμε τον x-άξονα κατά μήκος οποιασδήποτε άλλης ευθείας δεν υπάρχει.

27 Νοεμβρίου, 2009

Αριθμοί Liouville II

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 3:50 μμ

Δείξτε παρόλα αυτά ότι κανένας άρρητος αλγεβρικός αριθμός (που είναι δηλαδή ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές) ΔΕΝ είναι αριθμός Liouville.

24 Νοεμβρίου, 2009

Αριθμοί Liouville

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:53 μμ

Ένας άρρητος αριθμός x λέγεται αριθμός Liouville αν έχει την ιδιότητα ότι για κάθε φυσικό n υπάρχει ένας ακέραιος p και ένας φυσικός q>1 έτσι ώστε \displaystyle\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^n}.
Δείξτε ότι κάθε διάστημα περιέχει αριθμούς Liouville.

18 Νοεμβρίου, 2009

Χωριστά συνεχής

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:32 πμ

Έστω f:\mathbb R^2\to\mathbb R μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάθε μεταβλητή. Δηλαδή για κάθε σταθεροποιημένο x, η f(x,y) είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού y, και ανάλογα για κάθε σταθεροποιημένο y η f(x,y) είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού x. Δεν είναι αλήθεια ότι μια τέτοια f είναι συνεχής σαν συνάρτηση και των δύο μεταβλητών. Παράδειγμα

\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},\ &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,\ &(x,y)=(0,0)\end{cases}.

Δείξτε παρ’ όλα αυτά ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει πάντα τουλάχιστο ένα σημείο συνέχειας.

16 Νοεμβρίου, 2009

Άθροισμα 15

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:17 πμ

Παίζετε μ’ ένα φίλο σας το ακόλουθο παιχνίδι. Επιλέγετε εναλλάξ έναν από τους αριθμούς 1,2,3,…,9 και νικητής είναι όποιος σχηματίσει πρώτος άθροισμα 15 με τρεις αριθμούς που έχει επιλέξει. Όταν ένας αριθμός έχει επιλεγεί από κάποιον παίκτη δεν μπορεί να επιλεγεί ξανά. Υπάρχει στρατηγική νίκης για όποιον παίζει πρώτος;

13 Νοεμβρίου, 2009

Πεπερασμένοι μετρικοί χώροι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:41 μμ

Ας είναι X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύο σημεία x,y \in X έχει οριστεί μια θετική «απόσταση» d(x,y) ανάμεσά τους, και οι αποστάσεις αυτές πληρούν την τριγωνική ανισότητα

d(x, y) \le d(x, z) + d(z,y), για κάθε x, y, z \in X.

Κατασκευάστε μια 1-1 συνάρτηση X \to {\mathbb R}^n τέτοια ώστε για κάθε x,y \in X να ισχύει

d(x, y) = \|f(x)-f(y)\|_\infty

όπου \|u\|_\infty = \max_{k=1,\ldots,n}|u_k|, για u \in {\mathbb R}^n.

11 Νοεμβρίου, 2009

Μη αρνητικά πολυώνυμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:45 πμ

Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές f(x) \in {\mathbb R}[x] είναι μη αρνητικό για κάθε x \in {\mathbb R} γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων

f(x) = \sum_{j=1}^N (p_j(x))^2, με p_j(x) \in {\mathbb R}[x].

Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.

Έστω F(x,y) = x^2y^2(x^2+y^2-3)+1. Δείξτε ότι το F(x, y) είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε x, y. Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.

6 Νοεμβρίου, 2009

Οριακή κανονικότητα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 9:46 μμ

Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας του \mathbb{R}^n με κέντρο το 0 και ακτίνα \sqrt{n}. Αν \mathbb{P}_n[a,b] είναι η πιθανότητα η πρώτη συντεταγμένη του σημείου να είναι στο διάστημα [a,b] δείξτε ότι

\displaystyle \mathbb{P}_n[a,b]\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{u^2}{2}} du.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.