Προβλήματα Μαθηματικών

11 Νοεμβρίου, 2009

Μη αρνητικά πολυώνυμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:45 πμ

Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές f(x) \in {\mathbb R}[x] είναι μη αρνητικό για κάθε x \in {\mathbb R} γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων

f(x) = \sum_{j=1}^N (p_j(x))^2, με p_j(x) \in {\mathbb R}[x].

Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.

Έστω F(x,y) = x^2y^2(x^2+y^2-3)+1. Δείξτε ότι το F(x, y) είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε x, y. Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.