Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 17, 2010

Πυκνή τροχιά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 7:31 μμ

Έστω X=\ell^2({\mathbb N}) ο γραμμικός χώρος όλων των πραγματικών ακολουθιών a=(a_1, a_2, \ldots) με

\|a\| := \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots} < \infty.

Ο γραμμικός χώρος X είναι και μετρικός με τη μετρική d(a,b)=\|a-b\|. Ορίζουμε τη γραμμική απεικόνιση

T:X\to X,\ \ T(a) = (2a_2, 2a_3, 2a_4, \ldots)

(σπρώχνουμε όλες τις συντεταγμένες του διανύσματος μία θέση προς τα αριστερά και μετά τις πολλαπλασιάζουμε όλες επί 2).

Δείξτε ότι υπάρχει διάνυσμα a \in X τέτοιο ώστε το σύνολο (τροχιά)

a, T(a), T^2(a)=T(T(a)), T^3(a), \ldots

να είναι πυκνό στον X, δηλ. για κάθε σημείο x\in X υπάρχει υπακολουθία της τροχιάς του a που συγκλίνει στο x.

Advertisements

Ιουλίου 8, 2010

Προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:21 μμ

Έχουμε κάποια διανύσματα v_1, v_2, \ldots, v_n \in {\mathbb R}^d με Ευκλείδιο μήκος |v_j| = 1. Δείξτε ότι μπορούμε να επιλέξουμε πρόσημα \epsilon_1=\pm 1, \ldots, \epsilon_n = \pm 1 τέτοια ώστε αν

u = \epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n

τότε να ισχύει |u| \le \sqrt{n}. Επίσης μπορούμε να τα επιλέξουμε ώστε να ισχύει |u| \ge \sqrt{n}.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: