Μπορείτε να σκοτώσετε τον ψύλλο;

Πάνω στο επίπεδο βρίσκεται ένας ψύλλος, ο οποίος είναι περιορισμένος να ζει και να κινείται πάνω στο σύνολο των ακεραίων σημείων του επιπέδου . Τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στο σημείο και από κει και πέρα κινείται σε κάθε δευτερόλεπτο πηδώντας πάντα κατά το ίδιο διάνυσμα.

Με άλλα λόγια ο ψύλλος κινείται πάνω σε μια ευθεία και μάλιστα πάνω στα ακέραια σημεία της ευθείας αυτής, με σταθερή ταχύτητα. Για παράδειγμα θα μπορούσε σε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να πηδάει κατά το διάνυσμα

.

Ο ψύλλος αυτός σας ενοχλεί και θέλετε να τον σκοτώσετε. Μπορείτε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να χτυπάτε ένα από τα ακέραια σημεία του επιπέδου με την ελπίδα ότι ο ψύλλος βρίσκεται τότε εκεί και θα τον σκοτώσετε.

Δε βλέπετε όμως πού είναι ο ψύλλος (παρά μόνο αφού τον σκοτώσετε) ούτε ξέρετε ποιο είναι το διάνυσμα κίνησης του ψύλλου .

Μπορείτε να ακολουθήσετε μια μέθοδο χτυπημάτων που θα είναι σίγουρο ότι θα πετύχει τον ψύλλο αργά η γρήγορα; (Τη χρονική στιγμή 0 δε μπορείτε να χτυπήσετε. Αρχίζετε τη χρονική στιγμή 1.)

Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Miklos Laczkovich.

Ασύμμετρα σύνολα

Ένα ακόμα πρόβλημα από τον Κωνσταντίνο Κουρουζίδη

Για κάθε δυαδικό διάνυσμα θέτουμε να είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες . Ένα σύνολο δυαδικών διανυσμάτων λέγεται ασύμμετρο αν . Πόσα ασύμμετρα σύνολα υπάρχουν;

Συμμετρική κατάσταση

Γνωρίζουμε πολύ καλά ότι αν είναι τα συνηθισμένα διανύσματα βάσης στο επίιπεδο τότε κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως:

.

Μπορεί δηλ. να γραφεί το ως γραμμικός συνδυασμός των όπου οι συντελεστές είναι απλά τα εσωτερικά γινόμενα με τα διανύσματα αυτά. Το ίδιο φυσικά ισχύει αν στη θέση των βάλουμε δύο οποιαδήποτε ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του επιπέδου με μέτρο 1.

Αν και είναι οι περιστροφές του κατά αντίστοιχα (όπως φαίνονται στο σχήμα παραπάνω), δείξτε ότι και για τα ισχύει ότι κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως:

.

Το μαγικό κολιέ των χρωμάτων για μια ζωή χωρίς βαρετές επαναλήψεις

Στο φετινό φεστιβάλ στα Μάταλα ένας από τους πλανόδιους πωλητές χειροποίητης τέχνης θα πουλάει το μαγικό κολιέ των χρωμάτων:

Το κολιέ αυτό έχει την παρακάτω μαγική ιδιότητα που, σύμφωνα με τον πλανόδιο έμπορο, βοηθάει στο να περνάει η ζωή πιο ωραία και με λιγότερες βαρετές επαναλήψεις.

Είναι φτιαγμένο από 64 χάντρες από 8 διαφορετικά χρώματα και είναι βαλμένες αυτές με τέτοιο τρόπο ώστε αν κανείς διανύσει το μήκος του κολιέ κατά τη μια κατεύθυνση (οποιαδήποτε από τις δύο) τότε θα δει όλες τις δυνατές διαδοχές δύο χρωμάτων ακριβώς μια φορά την κάθε μία.

(Αν ονομάσουμε, χάριν συντομίας, τα χρώματά μας τότε θα δούμε δηλ. διανύοντας το κολιέ και μια μετάβαση από σε , και μια μετάβαση από σε , … , και μια μετάβαση από το σε , κλπ. Υπάρχουν φυσικά τέτοιες μεταβάσεις, όσες και οι χάντρες του κολιέ. Άρα ένας άλλος τρόπος να πει κανείς το ίδιο πράγμα είναι ότι όπως κινούμαστε γύρω-γύρω στο κολιέ δε θα δούμε ποτέ την ίδια διαδοχή χρωμάτων ξανά σε μια πλήρη μας διάσχιση του κολιέ.)

Υπάρχει τρόπος να φτιαχτεί τέτοιο κολιέ; Αν ναι, πώς; Αν όχι, γιατί;

Αλυσίδες

Ας είναι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο.

Η συνάρτηση είναι συνεχής. Αποδείξτε ότι υπάρχουν , , τ.ώ.

, για κάθε .

Δεν υποθέτουμε ότι η είναι 1-1 ή επί.

Εκλογικές αντιφάσεις

Σε ένα ελληνικό Πανεπιστήμιο έγιναν πρόσφατα, μετά πολλών βασάνων, οι εκλογές για το Συμβούλιο Διοίκησης, με το νέο, για την Ελλάδα, σύστημα της ταξινομικής ψήφου. Με αυτό το σύστημα οι εκλογείς ψηφίζουν διατάσσοντας τους υποψηφίους γραμμικά (1η προτίμηση, 2η κλπ).

Μετά την εκλογή του Συμβουλίου η Εφορευτική Επιτροπή δημοσιεύει κάποια στατιστικά στοιχεία για τους ψήφους που κατατέθηκαν με σκοπό να ενημερώσει το εκλογικό σώμα σεβόμενη ταυτόχρονα τη νομιμότητα που επιβάλλει το κρυφό της ψήφου του καθενός. Τότε όμως διαπιστώνεται το εξής παράδοξο: οι τρεις συνολικά υποψήφιοι Α, Β, και Γ είχαν μεταξύ τους τις εξής διαφορές προτιμήσεων:

• Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Α από τον Β (δηλ. κατέταξαν τον Α σε υψηλότερη θέση),
• Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Β από τον Γ, και,
• παρ’ όλ’ αυτά, τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Γ από τον Α!

Μετά από αυτή τη συνταρακτική διαπίστωση οι ορκισμένοι αντίπαλοι του νέου τρόπου διοίκησης των Πανεπιστημίων στην Ελλάδα ετοιμάζονται να προσφύγουν στο Συμβούλιο Επικρατείας ισχυριζόμενοι ότι υπήρξε αλλοίωση των αποτελεσμάτων και ότι δεν είναι δυνατό να ισχύουν τα παραπάνω τρία συγκεντρωτικά στοιχεία καθότι είναι μεταξύ τους αντιφατικά.

Είναι;

Υποσύνολα φυσικών

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Δημήτρη Απατσίδη.

Δείξτε ότι υπάρχει μια μη αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε δύο εξ’ αυτών να είναι πεπερασμένο σύνολο.

Στοίχημα

Ένας φοιτητής έχει 1 ευρώ και χρειάζεται να συγκεντρώσει 1000 ευρώ για να πάει διακοπές. Αποφασίζει να στοιχηματίσει παίζοντας κορώνα-γράμματα με ένα τίμιο νόμισμα, όπου σε κάθε γύρο θα διπλασιάζει το ποντάρισμά του αν προβλέψει σωστά το αποτέλεσμα του στριψίματος  και θα χάνει το ποντάρισμά του αν προβλέψει λάθος. Έχει αποφασίσει να παίζει μέχρι είτε να χάσει όλα του τα χρήματα είτε να συγκεντρώσει τα 1000 ευρώ. Μπορεί σε κάθε γύρο να στοιχηματίσει οποιοδήποτε ακέραιο ποσό σε ευρώ που δεν ξεπερνά την τρέχουσα περιουσία του, αλλά αναρωτιέται αν υπάρχει στρατηγική που θα μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να φτάσει τα 1000 ευρώ. Δείξτε ότι η πιθανότητα αυτή είναι το πολύ 1/1000 και βρείτε μια στρατηγική που του εξασφαλίζει αυτήν την πιθανότητα.

Αναδρομική ακολουθία

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Θεωρούμε την αναδρομική ακολουθία , .
Βρείτε την τάξη μεγέθους τής καθώς .

Ξένη ένωση

Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με τα σχόλια (8) και (9) τού προηγούμενου.
Μπορείτε να γράψετε το σαν υπεραριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο υπεραριθμήσιμων συνόλων;

Άρρητοι αριθμοί

Υπάρχει κλειστό σύνολο άρρητων αριθμών χωρίς μεμονωμένα σημεία;

Αποστάσεις ανάμεσα σε σημεία

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν 4 σημεία στο επίπεδο που ανά δύο να έχουν Ευκλείδια απόσταση που να είναι περιττός ακέραιος.

(Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Μπάμπη Τσουρακάκη.)

Άπειρα πολλαπλάσια

Για κάθε ανοιχτό σύνολο πραγματικών αριθμών που δεν είναι φραγμένο δείξτε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός που άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο σύνολο.

Ομοιόμορφο στρώσιμο

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση (αυστηρά θετική παντού) τέτοια ώστε

, για κάθε ;

Ατέλειωτος περίπατος

Στις κορυφές του τοποθετούμε με πιθανότητα μια μπαταρία, ανεξάρτητα για διαφορετικές κορυφές. Ένα ρομπότ ξεκινά από την αρχή των αξόνων με μια μπαταρία που επαρκεί για να διανύσει απόσταση ακριβώς 1, και ένα χάρτη με τις κορυφές όπου υπάρχει μπαταρία. Αν στην κορυφή που θα μεταβεί βρει μια μπαταρία μπορεί να συνεχίσει τον περίπατό του για ακόμα ένα βήμα. Δείξτε ότι υπάρχει ένα , τέτοιο ώστε αν ο περίπατος του ρομπότ θα τελειώσει σε πεπερασμένο χρόνο με πιθανότητα 1.

Πτώση μέχρι καταστροφής

Μια εταιρεία παραγωγής μαγικών ειδών σας ζητάει να εκτιμήσετε την ποιότητα της νέας γυάλινης σφαίρας που έχει κατασκευάσει, και ειδικότερα σας ζητάει να αποφασίσετε από ποιον όροφο του 36-όροφου κτηρίου της πρέπει να πέσει για να σπάσει.

Για το σκοπό αυτό σας διαθέτει ακριβώς δύο πανομοιότυπες γυάλινες σφαίρες.

Εσείς πρέπει λοιπόν να αποφασίσετε ποιο είναι το ελάχιστο τέτοιο ώστε αν η γυάλινη σφαίρα πέσει από τον -οστό όροφο σπάει αλλά αν πέσει από τον -όροφο τότε δε σπάει.

Ένας προφανής τρόπος να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μάλιστα μόνο τη μια σφαίρα είναι να ανεβαίνετε τους ορόφους έναν-έναν και από κάθε όροφο να ρίχνετε τη σφαίρα μέχρι να σπάσει.

Όμως αυτός ο όροφος παίρνει εν γένει πολλές δοκιμές.

Προσπαθείστε να το κάνετε με όσο λιγότερες δοκιμές μπορείτε.

Τριγωνομετρική σειρά

Έστω ότι για κάποια ακολουθία , η συνάρτηση , με είναι καλά ορισμένη (δηλαδή η σειρά συγκλίνει για κάθε ). Δείξτε ότι η είναι συνεχής.

Διαγώνισμα πολλαπλής επιλογής

Ένα διαγώνισμα αποτελείται από ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Κάθε ερώτηση έχει 5 δυνατές απαντήσεις από τις οποίες μόνο μια είναι σωστή. Αν κάποιος απαντήσει σωστά μια ερώτηση παίρνει 1 μονάδα, ενώ αν απαντήσει λάθος χάνει 0,25 μονάδες. Ο διαγωνιζόμενος θεωρείται ότι πέτυχε στο διαγώνισμα αν πάρει συνολικά τουλάχιστον μονάδες.

Βρείτε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα να πετύχει κάποιος που απαντά όλες τις ερωτήσεις στην τύχη.

Οριακό σημείο

Υπάρχει υπακολουθία τής η οποία να συγκλίνει στο ;

Απαγορευμένοι πίνακες

Έστω ένας πίνακας από και . Υποθέτουμε ότι ο δεν περιέχει κανένα υποπίνακα που αποτελείται μόνο από . Βρείτε ένα άνω φράγμα για τον συνολικό αριθμό των .