Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 18, 2013

Διασπορά και Διάταξη

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:10 μμ

Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης

Αν X_1,X_2,\ldots,X_n είναι τυχαίες μεταβλητές και X_{(1)},X_{(2)},\ldots,X_{(n)} είναι μια αναδιάταξή τους ώστε X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}, δείξτε ότι

\displaystyle \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\cdots+\text{Var}(X_n)\ge \text{Var}(X_{(1)})+\text{Var}(X_{(2)})+\cdots+\text{Var}(X_{(n)})

 

Advertisements

Ιουνίου 11, 2013

Αλυσίδες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:33 μμ

circle

Ας είναι T ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο.

Η συνάρτηση f: T\to T είναι συνεχής. Αποδείξτε ότι υπάρχουν x_n \in T, n \in {\mathbb Z}, τ.ώ.

f(x_n) = x_{n+1}, για κάθε n\in{\mathbb Z}.

Δεν υποθέτουμε ότι η f είναι 1-1 ή επί.

Ιουνίου 2, 2013

Πόλεις και μονόδρομοι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:36 πμ

Image

Σε μια χώρα υπάρχουν N πόλεις και ακριβώς N δρόμοι ανάμεσά τους, όλοι μονόδρομοι, όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω. Φυσικά κάποιες πόλεις μπορεί και να μην έχουν καθόλου δρόμους που να ξεκινάνε ή να καταλήγουν σε αυτές.

Ας ονομάσουμε Z τον αριθμό των πόλεων στις οποίες δεν καταλήγει κανείς δρόμος και E τον αριθμό των πόλεων στις οποίες καταλήγει άρτιος αριθμός δρόμων (του 0 συμπεριλαμβανομένου). Στο σχήμα παραπάνω Z=2 και E=4.

Δείξτε ότι 2Z \ge E.

Προτάθηκε από το Χρήστο Πελέκη.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: