Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 30, 2016

Γινόμενα Borel

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:38 μμ

Αν ο X είναι ένας μετρικός χώρος με \mathcal B(X) συμβολίζουμε τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel και με \mathcal B(X)\otimes\mathcal B(X) τη σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα ορθογώνια A\times B όπου τα A,B είναι Borel υποσύνολα τού X. Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι

\mathcal B(\mathbb R\times \mathbb R)=\mathcal B(\mathbb R)\otimes\mathcal B(\mathbb R).

Ισχύει το ίδιο με ένα αυθαίρετο μετρικό χώρο στη θέση τού \mathbb R;

Advertisements

Ορθοκανονικό σύνολο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:13 πμ

Ας είναι S ένα ορθοκανονικό υποσύνολο τού L^2([0,1]) το οποίο αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις. Θέτουμε Y=\overline{\langle S \rangle}, όπου \langle\cdot\rangle είναι η γραμμική θήκη. Δείξτε ότι αν υπάρχει σταθερά C>0 τέτοια ώστε

\displaystyle{\sup_{f\in Y,\ f\ne0}\frac{\|f\|_\infty}{\|f\|_2}\leq C}, τότε ο Y έχει πεπερασμένη διάσταση.

Σχεδόν αύξουσα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:58 πμ

Ας είναι f:\mathbb R\to\mathbb R μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε n\in\mathbb N ισχύει ότι f(x+\frac1n)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x. Δείξτε ότι για κάθε a\geq0 έχουμε ότι f(x+a)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x.

Σειρά μεταθέσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:48 πμ

Αν η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι ολοκληρώσιμη, τότε η σειρά

\displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt n}f\left(x-\sqrt n\right)}

συγκλίνει για σχεδόν όλα τα x.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: