Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 18, 2015

Απεριοδική Πλακόστρωση

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:40 μμ

lattice-set

Κατασκευάστε σύνολα A, B \subseteq {\mathbf Z}^2 τέτοια ώστε

  1. Το σύνολο A είναι πεπερασμένο,
  2. Κάθε u \in {\mathbf Z}^2 γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα
    u = a +b, με a \in A, b \in B,
  3. Δεν υπάρχει διάνυσμα u \in {\mathbf Z}^2\setminus\{0\} τέτοιο ώστε B = B+u.

Το παρακάτω το είχα αναρτήσει το 2008 και κανείς δεν έκανε το παραμικρό. Το φέρνω λοιπόν πάνω μήπως και έχει καλύτερη τύχη τώρα.

Advertisements

Ιουνίου 17, 2015

Το μαγικό κολιέ των χρωμάτων για μια ζωή χωρίς βαρετές επαναλήψεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:14 μμ

Στο φετινό φεστιβάλ στα Μάταλα ένας από τους πλανόδιους πωλητές χειροποίητης τέχνης θα πουλάει το μαγικό κολιέ των χρωμάτων:

necklace

Το κολιέ αυτό έχει την παρακάτω μαγική ιδιότητα που, σύμφωνα με τον πλανόδιο έμπορο, βοηθάει στο να περνάει η ζωή πιο ωραία και με λιγότερες βαρετές επαναλήψεις.

Είναι φτιαγμένο από 64 χάντρες από 8 διαφορετικά χρώματα και είναι βαλμένες αυτές με τέτοιο τρόπο ώστε αν κανείς διανύσει το μήκος του κολιέ κατά τη μια κατεύθυνση (οποιαδήποτε από τις δύο) τότε θα δει όλες τις δυνατές διαδοχές δύο χρωμάτων ακριβώς μια φορά την κάθε μία.

(Αν ονομάσουμε, χάριν συντομίας, τα χρώματά μας \chi_1,\ldots,\chi_8 τότε θα δούμε δηλ. διανύοντας το κολιέ και μια μετάβαση από \chi_1 σε \chi_1, και μια μετάβαση από \chi_1 σε \chi_2, … , και μια μετάβαση από το \chi_1 σε \chi_8, κλπ. Υπάρχουν φυσικά 8\times 8 = 64 τέτοιες μεταβάσεις, όσες και οι χάντρες του κολιέ. Άρα ένας άλλος τρόπος να πει κανείς το ίδιο πράγμα είναι ότι όπως κινούμαστε γύρω-γύρω στο κολιέ δε θα δούμε ποτέ την ίδια διαδοχή χρωμάτων ξανά σε μια πλήρη μας διάσχιση του κολιέ.)

Υπάρχει τρόπος να φτιαχτεί τέτοιο κολιέ; Αν ναι, πώς; Αν όχι, γιατί;

Ιουνίου 16, 2015

Μικρό σύνολο, όπου υπάρχουν όλες οι αποστάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:08 μμ

Κατασκευάστε ένα σύνολο E \subseteq {\mathbb R} που να είναι μια ένωση διαστημάτων με συνολικό μήκος το πολύ 1

intervals

και τέτοιο ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό d να υπάρχουν δύο στοιχεία x, y \in E με

x-y=d.

Ιουνίου 15, 2015

Ο ελάχιστος κύκλος που περικλείει κάποια σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:52 πμ

Ας είναι p_1, p_2, \ldots, p_N σημεία του επιπέδου. Δείξτε ότι κύκλος ελαχίστου εμβαδού που τα περιέχει είναι μοναδικός.

enclosing-circle

Ιουνίου 13, 2015

Wiener

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:20 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Αν \mathcal D  είναι μια πεπερασμένη οικογένεια δίσκων, τότε υπάρχει υπο-οικογένεια ξένων ανά δυο δίσκων τέτοια ώστε αν φουσκώσουμε κάθε μέλος της τρεις φορές, τότε η ένωση των φουσκωμένων καλύπτει την \mathcal D.

Ιουνίου 12, 2015

Το περπάτημα του μεθυσμένου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:13 μμ

Κάποιος που έχει πιει πολύ και μόλις βγήκε από το bar περπατάει με τον παρακάτω περίεργο τρόπο.

walk

Σε κάθε χρονική στιγμή κάνει πρώτα μια στροφή κατά a=10 μοίρες γύρω από το σημείο όπου βρίσκεται η πόρτα του bar και αμέσως μετά κινείται κατά το σταθερό διάνυσμα v. Και ξανά στροφή γύρω από την πόρτα του bar κατά 10 μοίρες και πάλι μετακίνηση κατά το διάνυσμα v.

Τι νομίζετε ότι θα συμβεί μακροπρόθεσμα στην κίνηση του μεθυσμένου; (Αγνοείστε φυσικά τν ύπαρξη οποιωνδήποτε εμποδίων στην κίνηση αυτή.)

Ιουνίου 11, 2015

Ληστές επτά, με κάμποσα λεφτά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:57 μμ

Μια ομάδα 7 ληστών μόλις διέπραξε μια πολύ επιτυχημένη ληστεία τράπεζας. Τα χρήματα που σήκωσαν τα έχουν βάλει σε ένα χρηματοκιβώτιο στο καταφύγιό τους. Πρέπει όμως να διαφυλάξουν αυτά τα χρήματα πρώτ’ απ’ όλα από τους ίδιους τους τους εαυτούς.

padlocks

Τι θα γίνει π.χ. αν σηκωθεί ένας από αυτούς τα πάρει και φύγει; Αυτό φυσικά δεν είναι αποδεκτό στην ομάδα. Ή αν δύο από αυτούς συμφωνήσουν μεταξύ τους και τα πάρουν και φύγουν; Ούτε κι αυτό είναι αποδεκτό.

Όμως πρόκειται για μια ομάδα κλεφτών μεγαλωμένη από τους γονείς τους με πίστη στα δημοκρατικά ιδεώδη. Αν λοιπόν κάποιοι 4 από αυτούς αποφασίσουν να τα πάρουν αυτό γίνεται αποδεκτό γιατί οι 4 είναι πλειοψηφία στους 7. Όχι όμως 3 ή λιγότεροι.

Πώς θα το υλοποιήσουν αυτό; Το χρηματοκιβώτιο έχει απ’ έξω ένα μεγάλο σίδερο πάνω στο οποίο μπορούν να μπουν πολλά λουκέτα και όλα αυτά πρέπει να ξεκλειδωθούν για να ανοίξει. Για κάθε λουκέτο μπορούμε να έχουμε όσα αντικλείδια χρειαζόμαστε.

Πρέπει λοιπόν να δώσουμε σε κάθε κλέφτη ένα σετ από κλειδιά με τέτοιο τρόπο ώστε:

  1. Οποιοιδήποτε 4 κλέφτες να έχουν μεταξύ τους όλα τα κλειδιά που απαιτούνται για να ανοίξει το χρηματοκιβώτιο.
  2. Για οποιουσδήποτε 3 κλέφτες αυτό δε συμβαίνει.

Πώς μπορεί  να γίνει αυτό; Πόσα λουκέτα συνολικά χρειάζονται και ποια κλειδιά θα πάρει κάθε κλέφτης;

Προσδιορισμός τετραγώνου από σημεία στις πλευρές του

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:50 πμ

Το παρακάτω προτάθηκε από το Γ. Ριζόπουλο:

Ο τοπογράφος έδωσε τις 4 κορυφές του τετραγώνου στον εργοδηγό. Αυτός έβαλε στις 4 γωνίες από ένα παλούκι και έδεσε μια κορδέλα από παλούκι σε παλούκι χαράζοντας το τετράγωνο επί εδάφους. Ο μηχανικός έβαλε στο έδαφος από μία πέτρα σε κάθε πλευρά του τετραγώνου, σε τυχαίο σημείο.

«Έτσι, και να φυσήξει αέρας και να μας πάρει τα παλούκια και την κορδέλα, θα μπορέσουμε να ξαναφτιάξουμε ακριβώς (κατά μέγεθος ΚΑΙ θέση) το τετράγωνο» χωρίς να ξαναφωνάξουμε τον τοπογράφο. Mας αρκεί η μετροκορδέλα μας!

Έχει δίκιο ο μηχανικός;

Διχοτόμηση σχήματος L

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:21 πμ

Έχετε ένα χαρτί σχήματος L.

l-shape

Έχετε στη διάθεσή σας μολύβι κι ένα χάρακα (όχι διαβήτη). Πρέπει να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή που να χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβαδικά κομμάτια. (Οι διαστάσεις του σχήματος είναι τυχαίες. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.)

Ιουνίου 10, 2015

Μερικές μέρες έμειναν ακόμη …

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:31 πμ

gradcall

Τη Δευτέρα 15/6/2015 λήγει η προθεσμία υποβολής υποψηφιοτήτων για τα μεταπτυχιακά προγράμματα του Τμήματός μας.

Ιουνίου 9, 2015

Άθροισμα μηδέν

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:19 πμ

Τέσσερα διανύσματα στο επίπεδο έχουν μήκος 1 και άθροισμα 0. Δείξτε ότι πρόκειται για δύο ζεύγη από αντίθετα διανύσματα.

Μαΐου 12, 2015

Euler Φ – μέρος δεύτερο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:03 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης. Υπάρχει  ή όχι ακολουθία φυσικών n_i τέτοια ώστε \frac{\phi(n_1)}{n_1}=\frac{\phi(n_2)}{n_2}=\frac{\phi(n_3)}{n_3}=\cdots;

Δεκέμβριος 2, 2014

Euler Φ

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:00 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Υπάρχει μονότονη ακολουθία από φυσικούς n_1<n_2<\cdots<n_i<\cdots,
τέτοια ώστε \phi(n_1)=\phi(n_2)=\cdots=\phi(n_i)=\cdots όπου \phi είναι η αριθμητική συνάρτηση του Euler;

Νοέμβριος 6, 2014

Παραλληλόγραμμο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:00 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελεκης.

Υποθέστε ότι μια (απλή) καμπύλη, C, χωρίζει το εμβαδό παραλληλογράμμου σε δύο ίσα μέρη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο σημεία, A, B, στη C τέτοια ώστε το ευθύγραμμο τμήμα AB περνάει από το κέντρο O του παραλληλογράμμου.

Απρίλιος 23, 2014

Συνέχεια και τοπικά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:51 πμ

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό και να μην είναι σταθερή (π.χ. η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος (-\infty, 0)).

Υπάρχει ή όχι συνεχής  μη σταθερή συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό;

Απρίλιος 20, 2014

Αναγκαστικά ισομετρία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 3:12 πμ

Μια συνεχής συνάρτηση f:X\to X από ένα συμπαγή μετρικό χώρο στον εαυτό του έχει την ιδιότητα ότι δε μικραίνει τις αποστάσεις:

Για κάθε x, y \in X έχουμε d(f(x), f(y)) \ge d(x, y) (εδώ d(\cdot,\cdot) είναι η μετρική του χώρου X).

Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία: d(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y \in X.

(Αν έχετε πρόβλημα με την έννοια «συμπαγής μετρικός χώρος» μπορείτε να σκέφτεστε το X σαν ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Ευκλείδιου χώρου με τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική.)

Μαρτίου 12, 2014

Όριο με τον ορισμό

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:11 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Βρείτε το ελάχιστο n_0 στον \varepsilon-n_0 ορισμό τού ορίου

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Νοέμβριος 18, 2013

Προς τα πού πήγε το ποδήλατο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:04 πμ

bike

Αυτές οι δύο καμπύλες είναι τα ίχνη των τροχών ενός ποδηλάτου στο χώμα.

Προς τα ποια κατεύθυνση κινήθηκε το ποδήλατο; Αριστερά προς δεξιά ή δεξιά προς αριστερά;

Οκτώβριος 15, 2013

Νομίσματα πάνω σ’ ένα τραπέζι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:48 πμ

coins-on-table

Σε ένα ορθογώνιο τραπέζι T βρίσκονται τοποθετημένα n όμοια, κυκλικά νομίσματα, με τέτοιο τρόπο ώστε δε χωράει να τοποθετηθεί άλλο νόμισμα πάνω στο τραπέζι αυτό χωρίς να επικαλύπτει μερικώς κάποιο από τα ήδη υπάρχοντα νομίσματα. (Ένα νόμισμα θεωρείται τοποθετημένο πάνω στο τραπέζι όταν το κέντρο του βρίσκεται πάνω στο τραπέζι; δε χρειάζεται να βρίσκεται ολόκληρο επάνω.)

Δείξτε ότι 4n νομίσματα αρκούν για να καλύψουν πλήρως το τραπέζι, φυσικά αλληλοκαλυπτόμενα.

Οκτώβριος 13, 2013

Διασπάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:44 πμ

venn

Ας είναι {\mathcal F} μια πεπερασμένη οικογένεια από υποσύνολα ενός συνόλου X. Αν είναι E \subseteq X ένα πεπερασμένο σύνολο μεγέθους k, λέμε ότι η οικογένεια {\mathcal F} διασπά το σύνολο E αν ο αριθμός των διαφορετικών συνόλων

F\cap E, όπου F \in {\mathcal F},

ισούται με 2^k. Όλα δηλ. τα υποσύνολα του E «φτιάχνονται» από τα σύνολα της {\mathcal F} περιορισμένα στο E.

Δείξτε ότι κάθε οικογένεια {\mathcal F} μεγέθους N=|{\mathcal F}| διασπά τουλάχιστον N διαφορετικά υποσύνολα του X.

« Προηγούμενη σελίδαΕπόμενη σελίδα: »

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: