Προβλήματα Μαθηματικών

3 Μαΐου, 2008

Ακεραιότιμα πολυώνυμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:59 πμ

Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές P(x)=a_0+a_1 x + \cdots + a_n x^n παίρνει ακέραιες τιμές για κάθε ακέραιο x (ονομάζουμε τέτοια πολυώνυμα ακεραιότιμα).

Δείξτε ότι υπάρχουν ακέραιοι b_0, \ldots, b_n τέτοιοι ώστε

\displaystyle P(x) = b_0 + b_1 {x \choose 1} + b_2 {x \choose 2} + \cdots + b_n {x \choose n},

όπου το πολυώνυμο {x \choose k}, k \ge 0, ορίζεται ως

\displaystyle {x \choose k} = \frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots k}

και είναι ακεραιότιμο (γιατί;).

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.