Προβλήματα Μαθηματικών

25 Δεκεμβρίου, 2008

Άπειρο ολοκλήρωμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 12:05 πμ

Έστω A\subset\mathbb R ένα σύνολο θετικού μέτρου. Δείξτε ότι υπάρχει πραγματική, μετρήσιμη συνάρτηση f τέτοια ώστε \displaystyle\int_A|f|=+\infty.

5 Σχόλια »

  1. Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους! Ας κάνω μια απόπειρα: Εφόσον το A έχει θετικό μέτρο, σχεδόν κάθε σημείο του είναι σημείο πυκνότητας αυτού. Έστω x_0 ένα τέτοιο σημείο. Τότε, η συνάρτηση f με f(t)=\frac{1}{t-x_0} αν t\neq x_0 και {0} αλλιώς, έχει \int_A |f|=+\infty. Διαφορετικά, για \delta>0 αρκετά μικρό θα είχαμε \int_{A\cap B(x_0,\delta)}|f|\geq \frac{1}{\delta}m(A\cap B(x_0,\delta))\geq 1 και έχουμε αντίφαση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — 27 Δεκεμβρίου, 2008 @ 12:21 μμ

  2. Πολύ σωστά.
    Για όσους δεν βλέπουν την αντίφαση, αν το ολοκλήρωμα ήταν πεπερασμένο, τότε θα είχαμε
    \displaystyle\int\limits_{A\cap B(x_0,\delta)}|f|\to0, καθώς \delta\to0. Απ’την άλλη

    \displaystyle\frac1\delta\cdot m(A\cap B(x_0,\delta))=2\cdot\frac{m(A\cap B(x_0,\delta))}{m(B(x_0,\delta))}\to2, καθώς \delta\to0, διότι το x_0 είναι σημείο πυκνότητας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — 27 Δεκεμβρίου, 2008 @ 7:25 μμ

  3. Και, χωρίς το θεώρημα του Lebesgue (ύπαρξη σημείων πυκνότητας); Είναι σχετικά βαρύ θεώρημα γι’ αυτή την άσκηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 27 Δεκεμβρίου, 2008 @ 8:03 μμ

  4. Χρονια πολλα!

    Θα προσπαθησω να δωσω μια αποδειξη που δε χρησιμοποιει το θεωρημα Lebesgue. Βασιζεται ουσιαστικα στην ιδια ιδεα με αυτη του petvalet.

    Κατ’αρχας, μπορουμε να υποθεσουμε οτι A\subset[0,1]. Αν δεν ισχυει αυτο, τοτε μπορουμε να βρουμε διαστημα I τετοιο ωστε m(A\cap I)>0, να μετεφερουμε το A\cap I στο [0,1] και να δουλεψουμε εκει.

    Θα ορισουμε επαγωγικα μια ακολουθια διαστηματων \{I_n\}_{n=0}^\infty. Θετουμε I_0=[0,1]. Διαιρουμε το I_0 σε δυο ισα υποδιαστηματα και καλουμε I_1 αυτο το διαστημα για το οποιο m(A\cap I_1)\ge\frac12m(A\cap I_0) (αν αυτο ισχυει και για τα δυο υποδιαστηματα, τοτε διαλεγουμε ενα στην τυχη). Επειτα διαιρουμε στα δυο το I_1 και καλουμε I_2 αυτο το διαστημα για το οποιο m(A\cap I_2)\ge\frac12m(A\cap I_1) και ουτω καθ’εξης. Απο την κατασκευη θα εχουμε οτι

    \displaystyle{m(A\cap I_n)\ge\frac1{2^n}m(A)\;\;\;\forall n\ge0.}

    Τωρα θετουμε

    \displaystyle{f:=\sup_{n\ge0}2^n\chi_{A\cap I_n}}.

    Η f ειναι πεπερασμενη παντου εκτος ισως απο ενα σημειο, την τομη των διαστηματων I_n (και μπορουμε να την τροποιησουμε σε αυτο). Θα εχουμε τοτε για αυτη τη συναρτηση οτι

    \displaystyle{\int_{A\cap I_n}f\ge2^nm(A\cap I_n)\ge m(A)>0},

    το οποιο ειναι ατοπο, οπως ειδαμε και στα προηγουμενα σχολια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — 30 Δεκεμβρίου, 2008 @ 2:16 μμ

  5. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — 30 Δεκεμβρίου, 2008 @ 8:51 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.