Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκεμβρίου 2, 2014

Euler Φ

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:00 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Υπάρχει μονότονη ακολουθία από φυσικούς n_1<n_2<\cdots<n_i<\cdots,
τέτοια ώστε \phi(n_1)=\phi(n_2)=\cdots=\phi(n_i)=\cdots όπου \phi είναι η αριθμητική συνάρτηση του Euler;

Νοεμβρίου 6, 2014

Παραλληλόγραμμο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:00 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελεκης.

Υποθέστε ότι μια (απλή) καμπύλη, C, χωρίζει το εμβαδό παραλληλογράμμου σε δύο ίσα μέρη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο σημεία, A, B, στη C τέτοια ώστε το ευθύγραμμο τμήμα AB περνάει από το κέντρο O του παραλληλογράμμου.

Απριλίου 23, 2014

Συνέχεια και τοπικά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:51 πμ

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό και να μην είναι σταθερή (π.χ. η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος (-\infty, 0)).

Υπάρχει ή όχι συνεχής  μη σταθερή συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό;

Απριλίου 20, 2014

Αναγκαστικά ισομετρία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 3:12 πμ

Μια συνεχής συνάρτηση f:X\to X από ένα συμπαγή μετρικό χώρο στον εαυτό του έχει την ιδιότητα ότι δε μικραίνει τις αποστάσεις:

Για κάθε x, y \in X έχουμε d(f(x), f(y)) \ge d(x, y) (εδώ d(\cdot,\cdot) είναι η μετρική του χώρου X).

Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία: d(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y \in X.

(Αν έχετε πρόβλημα με την έννοια «συμπαγής μετρικός χώρος» μπορείτε να σκέφτεστε το X σαν ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Ευκλείδιου χώρου με τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική.)

Μαρτίου 12, 2014

Όριο με τον ορισμό

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:11 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Βρείτε το ελάχιστο n_0 στον \varepsilon-n_0 ορισμό τού ορίου

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Νοεμβρίου 18, 2013

Προς τα πού πήγε το ποδήλατο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:04 πμ

bike

Αυτές οι δύο καμπύλες είναι τα ίχνη των τροχών ενός ποδηλάτου στο χώμα.

Προς τα ποια κατεύθυνση κινήθηκε το ποδήλατο; Αριστερά προς δεξιά ή δεξιά προς αριστερά;

Οκτωβρίου 15, 2013

Νομίσματα πάνω σ’ ένα τραπέζι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:48 πμ

coins-on-table

Σε ένα ορθογώνιο τραπέζι T βρίσκονται τοποθετημένα n όμοια, κυκλικά νομίσματα, με τέτοιο τρόπο ώστε δε χωράει να τοποθετηθεί άλλο νόμισμα πάνω στο τραπέζι αυτό χωρίς να επικαλύπτει μερικώς κάποιο από τα ήδη υπάρχοντα νομίσματα. (Ένα νόμισμα θεωρείται τοποθετημένο πάνω στο τραπέζι όταν το κέντρο του βρίσκεται πάνω στο τραπέζι; δε χρειάζεται να βρίσκεται ολόκληρο επάνω.)

Δείξτε ότι 4n νομίσματα αρκούν για να καλύψουν πλήρως το τραπέζι, φυσικά αλληλοκαλυπτόμενα.

Οκτωβρίου 13, 2013

Διασπάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:44 πμ

venn

Ας είναι {\mathcal F} μια πεπερασμένη οικογένεια από υποσύνολα ενός συνόλου X. Αν είναι E \subseteq X ένα πεπερασμένο σύνολο μεγέθους k, λέμε ότι η οικογένεια {\mathcal F} διασπά το σύνολο E αν ο αριθμός των διαφορετικών συνόλων

F\cap E, όπου F \in {\mathcal F},

ισούται με 2^k. Όλα δηλ. τα υποσύνολα του E «φτιάχνονται» από τα σύνολα της {\mathcal F} περιορισμένα στο E.

Δείξτε ότι κάθε οικογένεια {\mathcal F} μεγέθους N=|{\mathcal F}| διασπά τουλάχιστον N διαφορετικά υποσύνολα του X.

Σεπτεμβρίου 29, 2013

Διατεταγμένες γραμμές και στήλες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 8:37 πμ

matrix

Έχουμε ένα m\times n πίνακα αριθμών A. Οι γραμμές του A είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά. Ισχύει δηλ. για κάθε γραμμή i:

A_{i,j} \le A_{i,j+1}, για κάθε j=1,2,\ldots,n-1.

Για κάθε στήλη του πίνακα αναδιατάσσουμε τώρα εσωτερικά τα στοχεία της ώστε να είναι σε αύξουσα σειρά. Το κάνουμε αυτό και για τις n στήλες του πίνακα.

Δείξτε ότι μετά από αυτή την πράξη οι γραμμές του πίνακα εξακολουθούν να είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά.

Σεπτεμβρίου 9, 2013

Πώς να δηλητηριάσετε την πεθερά σας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:01 πμ

motherinlaw

Υποθέστε ότι θέλετε να δηλητηριάσετε την πεθερά σας. Σας επισκέπτεται για τσάι και επιλέγει  s κουλουράκια στη τύχη από ένα μπώλ που περιέχει n κουλουράκια, όπου s \le n/2.
Έχετε στην κατοχή σας h γραμμάρια αρσενικό, όπου 1 \le h < 2 και η θανατηφόρα δόση είναι το 1 γραμμάριο.  Δυστυχώς δε μπορείτε να βάλετε το δηλητήριο στο τσάι της. Θα πρέπει να το βάλετε στα κουλουράκια. Πώς πρέπει να κατανείμετε το δηλητήριο στα κουλουράκια ώστε να μεγιστοποιήσετε την πιθανότητα να την «ξεκάνετε» ;
Πρόβλημα από τον Χρήστο Πελέκη.

Ιουνίου 18, 2013

Διασπορά και Διάταξη

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:10 μμ

Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης

Αν X_1,X_2,\ldots,X_n είναι τυχαίες μεταβλητές και X_{(1)},X_{(2)},\ldots,X_{(n)} είναι μια αναδιάταξή τους ώστε X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}, δείξτε ότι

\displaystyle \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\cdots+\text{Var}(X_n)\ge \text{Var}(X_{(1)})+\text{Var}(X_{(2)})+\cdots+\text{Var}(X_{(n)})

 

Ιουνίου 11, 2013

Αλυσίδες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:33 μμ

circle

Ας είναι T ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο.

Η συνάρτηση f: T\to T είναι συνεχής. Αποδείξτε ότι υπάρχουν x_n \in T, n \in {\mathbb Z}, τ.ώ.

f(x_n) = x_{n+1}, για κάθε n\in{\mathbb Z}.

Δεν υποθέτουμε ότι η f είναι 1-1 ή επί.

Ιουνίου 2, 2013

Πόλεις και μονόδρομοι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:36 πμ

Image

Σε μια χώρα υπάρχουν N πόλεις και ακριβώς N δρόμοι ανάμεσά τους, όλοι μονόδρομοι, όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω. Φυσικά κάποιες πόλεις μπορεί και να μην έχουν καθόλου δρόμους που να ξεκινάνε ή να καταλήγουν σε αυτές.

Ας ονομάσουμε Z τον αριθμό των πόλεων στις οποίες δεν καταλήγει κανείς δρόμος και E τον αριθμό των πόλεων στις οποίες καταλήγει άρτιος αριθμός δρόμων (του 0 συμπεριλαμβανομένου). Στο σχήμα παραπάνω Z=2 και E=4.

Δείξτε ότι 2Z \ge E.

Προτάθηκε από το Χρήστο Πελέκη.

Μαΐου 31, 2013

Γρήγορος υπολογισμός διαμέτρου

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:42 μμ

Αν έχουμε x_1,\ldots,x_N σημεία σε ένα μετρικό χώρο X, όπου με d(x,y) συμβολίζουμε την απόσταση (μετρική) ανάμεσα στα σημεία x, y \in X, τότε αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη διάμετρο του συνόλου A=\{x_1,\ldots,x_N\}

{\mathrm {diam}}(A) = \max\{d(x,y): x,y \in A\}

εκ πρώτης όψεως φαίνεται να χρειάζεται λίγο-πολύ να υπολογίσουμε όλες τις αποστάσεις d(x_i, x_j). Αν υποθέσουμε ότι κάθε υπολογισμός απόστασης παίρνει χρόνο μια μονάδα, τότε ο συνολικός χρόνος που ξοδεύουμε είναι τετραγωνικός, δηλ. της τάξης του N^2.

  1. Αν ο μετρικός μας χώρος είναι ο X={\mathbf R}^k, όπου k είναι μια σταθερά που δεν αλλάζει με το N, και με μετρική την

               d_\infty(x, y)= \max_{j=1,\ldots,k} |x_j-y_j|

    δείξτε ότι η διάμετρος του συνόλου A μπορεί να υπολογιστεί πολύ γρηγορότερα, σε γραμμικό χρόνο \le C_k N, όπου C_k είναι μια σταθερά που δεν εξαρτάται από το N αλλά μόνο από το k.

  2. Το ίδιο αν ο μετρικός χώρος είναι και πάλι το {\mathbf R}^k με μετρική τώρα την

              d_1(x,y) = \sum_{j=1}^k |x_j-y_j|.

Απριλίου 20, 2013

Προσέγγιση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:33 μμ

Ένα πρόβλημα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Μπορείτε να εκτιμήσετε το άθροισμα

\displaystyle\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{1001}+\cdots+\sqrt[3]{8000}

χωρίς χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών;

Απριλίου 18, 2013

Πόσοι ιδιάζοντες πίνακες;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 8:16 μμ

Ένας γραμμικός υπόχωρος του χώρου των n\times n πραγματικών πινάκων περιέχει μόνο ιδιάζοντες (μη αντιστρέψιμους) πίνακες.

Ποια είναι η μέγιστη διάσταση που μπορεί να έχει;

Απριλίου 17, 2013

Παραγοντικά και συνημίτονα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:04 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Γιώργος Παπαδόπουλος.

Συγκλίνει η ακολουθία \cos(n!) ;

 

Απριλίου 4, 2013

Ανισότητα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:28 μμ

Ένα πρόβλημα από τον Αλέξανδρο Γαλανάκη.

Έστω p>1, και a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1^p-a_2^p-\dots-a_n^p>0 και b_1^p-b_2^p-\dots-b_n^p>0. Δείξτε ότι

\displaystyle\left(a_1^p-a_2^p-\dots-a_n^p\right)^{1/p}+\left(b_1^p-b_2^p-\dots-b_n^p\right)^{1/p}\leq\left[(a_1+b_1)^p-(a_2+b_2)^p-\dots-(a_n+b_n)^p\right]^{1/p}

 

Φεβρουαρίου 18, 2013

Έχει ρίζα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:59 μμ

Οι (πραγματικοί) συντελεστές του πολυωνύμου r(x) = r_0 + r_1 x + r_2 x^2 + \cdots +r_n x^n ικανοποιούν την εξίσωση

r_0 + \frac{r_1}{2} + \frac{r_2}{3} + \cdots + \frac{r_n}{n+1} = 0.

Δείξτε ότι το πολυώνυμο έχει πραγματική ρίζα.

(Από τον Χρήστο Πελέκη.)

Ιανουαρίου 6, 2013

Απίστευτο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:51 μμ

Image

Πού βρέθηκε αυτή η τρύπα στο κάτω τρίγωνο; Το μόνο που κάναμε ήταν να αναδιατάξουμε τα 4 κομμάτια του πάνω τριγώνου και το αποτέλεσμα είναι ένα ίδιο τρίγωνο αλλά με μια τρύπα.

Επόμενη σελίδα: »

The Rubric Theme. Ιστολόγιο στο WordPress.com.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 33 other followers

%d bloggers like this: