Προβλήματα Μαθηματικών

Νοεμβρίου 11, 2009

Μη αρνητικά πολυώνυμα

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:45 πμ

Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές f(x) \in {\mathbb R}[x] είναι μη αρνητικό για κάθε x \in {\mathbb R} γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων

f(x) = \sum_{j=1}^N (p_j(x))^2, με p_j(x) \in {\mathbb R}[x].

Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.

Έστω F(x,y) = x^2y^2(x^2+y^2-3)+1. Δείξτε ότι το F(x, y) είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε x, y. Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.

Νοεμβρίου 6, 2009

Οριακή κανονικότητα

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 9:46 μμ

Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας του \mathbb{R}^n με κέντρο το 0 και ακτίνα \sqrt{n}. Αν \mathbb{P}_n[a,b] είναι η πιθανότητα η πρώτη συντεταγμένη του σημείου να είναι στο διάστημα [a,b] δείξτε ότι

\displaystyle \mathbb{P}_n[a,b]\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{u^2}{2}} du.

Οκτωβρίου 27, 2009

Μέ όποια σειρά …

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:35 πμ

Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{100}\} και σε κάθε βήμα επιλέξτε δύο αριθμούς από το σύνολό σας, έστω τους a, b, και αντικαταστείστε τους στο σύνολό σας με τον ένα αριθμό a+b+ab.

Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.

Οκτωβρίου 22, 2009

Τετράγωνα και συμμετρίες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:15 πμ

Στις κορυφές ενός τετραγώνου βρίσκονται 4 κέρματα (τα κέντρα τους στις κορυφές). Κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να κάνουμε ένα κέρμα να πηδήσει πάνω από ένα άλλο: το πρώτο κέρμα φεύγει από τη θέση του και πηγαίνει στη συμμετρική του θέση ως προς το άλλο (το άλλο δεν κουνάει).

Μπορούμε με μια ακολουθία από τέτοια πηδήματα να φέρουμε τα κέρματα στις κορυφές ενός μεγαλύτερου τετραγώνου;

Οκτωβρίου 20, 2009

Διπλασιασμός μέχρι τέλους

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:12 πμ

Τρείς φίλοι ξεκινούν έχοντας ένα (ακέραιο, θετικό) χρηματικό ποσό ο καθένας.

Σε κάθε βήμα δύο από αυτούς μπορούν να τροποποιούν τα ποσά που έχουν ως εξής:

αν είναι x\le y τα δύο ποσά τότε αυτός που έχει τα περισσότερα δίνει στον άλλο όσα έχει ο άλλος. Τα δύο ποσά γίνονται δηλ. 2x και y-x.

Δείξτε ότι είναι πάντα δυνατό να κάνουν αυτές τις αλλαγές με τέτοιο τρόπο ώστε κάποιος από τους τρεις να καταλήξει χωρίς καθόλου χρήματα.

Οκτωβρίου 18, 2009

Οριακό σημείο

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 3:27 μμ

Υπάρχει υπακολουθία τής x_n=\sqrt{n}\sin n η οποία να συγκλίνει στο 0;

Οκτωβρίου 10, 2009

Πώς να αλλάξετε τα πρόσημα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:24 μμ

Έχουμε ένα m\times n πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Σας επιτρέπεται σε κάθε βήμα να πολλαπλασιάζετε κάθε γραμμή ή στήλη του πίνακα με -1 (να αλλάζετε δηλ. όλα τα πρόσημα σε αυτή τη γραμμή ή στήλη). Δείξτε ότι μπορείτε με αυτό τον τρόπο να πετύχετε κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα να έχει άθροισμα \ge 0.

Οκτωβρίου 9, 2009

Μπλε ή πράσινο;

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 12:18 πμ

Δίνουμε σε κάθε φυσικό αριθμό ένα χρώμα- μπλε ή πράσινο ως εξής: αρχικά όλοι οι αριθμοί είναι μπλε. Aλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής 2k+1. Στη συνέχεια αλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής 3k+2, έπειτα στους αριθμούς της μορφής 4k+3 κ.ο.κ. Ποιών αριθμών το χρώμα θα είναι τελικά μπλε;

Σεπτεμβρίου 14, 2009

Απαγορευμένοι πίνακες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 7:50 μμ

Έστω A ένας n\times n πίνακας από \heartsuit και \clubsuit. Υποθέτουμε ότι ο A δεν περιέχει κανένα 2\times 2 υποπίνακα που αποτελείται μόνο από \heartsuit. Βρείτε ένα άνω φράγμα για τον συνολικό αριθμό των \heartsuit.

Σημεία και ευθείες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:58 πμ

Δίδεται ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν είναι όλα συνευθειακά. Δείξτε ότι υπάρχει μια ευθεία που περιέχει ακριβώς δύο από τα σημεία αυτά.

Σεπτεμβρίου 12, 2009

Συνδέσεις

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:23 πμ

points

Στο επίπεδο βρίσκονται N κόκκινα και N πράσινα σημεία, αν τρία μη συνευθειακά. Δείξτε ότι μπορούμε να ταιριάσουμε κάθε κόκκινο με ένα πράσινο σημείο ενώνοντάς τα με ένα ευθύγραμμο τμήμα,με τέτοιο τρόπο ώστε τα N αυτά ευθύγραμμα τμήματα να μην τέμνονται.

Αυγούστου 30, 2009

Πέντε σημεία

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 2:31 πμ

Είναι δυνατόν να βρούμε 5 σημεία στο χώρο, τέτοια ώστε οι όγκοι των 5 τετραέρδων που ορίζουν να είναι ίσοι και μη μηδενικοί;

Αυγούστου 27, 2009

Μπιλιάρδο

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:20 πμ

pool-table

Ένα τραπέζι του μπιλιάρδου έχει διαστάσεις 1×2 και έχει τρύπες στις 4 κορυφές και στα μέσα των δύο μεγάλων πλευρών. Κάποιος ρίχνει μια βολή από μια κορυφή η οποία αρχίζει να χτυπά στα τοιχώματα και να ανακλάται. Τι πρέπει να ισχύει για τη γωνία βολής ώστε η μπάλα τελικά να μπεί σε κάποια τρύπα;

Υποθέτουμε ότι οι τρύπες και η μπάλα είναι σημεία, όχι όπως στην πραγματικότητα, και ότι δεν υπάρχουν άλλες μπάλες στο τραπέζι. Θυμίζουμε ότι όταν μια μπάλα ανακλάται από ένα τοίχωμα τότε η γωνία που σχηματίζει με το τοίχωμα όταν το χτυπάει είναι ίδια με αυτή που σχηματίζει όταν φεύγει από αυτό.

Αυγούστου 6, 2009

Λίγο Απειροστικός

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 9:23 μμ

Έστω f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} μια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάποιο φυσικό k

\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f^{(k)}(x)=0.

Δείξτε ότι \displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{'}(x)=\cdots=\lim_{x\to\infty}f^{(k-1)}(x)=0.

Αυγούστου 5, 2009

Ίδια αθροίσματα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:52 μμ

Δίδονται 10 διαφορετικοί ακέραιοι από 1 έως 100 ο καθένας. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο ξένες ομάδες από αυτούς με το ίδιο άθροισμα.

Το πέμπτο χαρτί

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:10 μμ

four-cards

Κρατάτε στο χέρι σας 5 χαρτιά που τα έχω επιλέξει εγώ κατά τύχη από μια συνηθισμένη τράπουλα (με 52 χαρτιά). Απέναντί σας βρίσκεται ο φίλος σας στον οποίο δείχνετε 4 από τα χαρτιά σας το ένα μετά το άλλο, όποια εσείς θέλετε. Ο φίλος (συνεργάτης) σας πρέπει να μαντέψει ποιο είναι το πέμπτο χαρτί. Πώς θα το κάνετε;

Μπορείτε φυσικά να έχετε συνεννοηθεί (από πριν πάρετε τα χαρτιά στα χέρια σας) με το φίλο σας για το πώς θα ενεργήσετε αλλά η μόνη πληροφορία που επιτρέπεται να περάσει ανάμεσά σας είναι τα 4 αυτά χαρτιά. Ούτε κλείσιμο του ματιού, ούτε αναποδογύρισμα των χαρτιών, ούτε άλλα τέτοια κόλπα.

Ιουλίου 24, 2009

Τομές συνόλων όλες ίδιες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:04 μμ

Έστω {1 \le k \le n} και σύνολα A_1,\ldots,A_m \subseteq \{1,2,\ldots,n\} με την ιδιότητα ότι

|A_i \cap A_j| = k για κάθε i \neq j.

Τότε m \le n.

Ιουλίου 21, 2009

Τομές συνόλων

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:03 πμ

Ας είναι A_j \subseteq X,\ j=1,2,\ldots,N, κάποια σύνολα μεγέθους k το καθένα, τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε k+1 από τα σύνολα A_j είναι μη κενή.

Τότε και η τομή όλων των A_j είναι μη κενή.

Ιουλίου 14, 2009

Ταχέως φθίνουσα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:12 μμ

Έστω \varphi:\mathbb R\to\mathbb R μια απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση με συμπαγή φορέα. Δείξτε ότι η ακολουθία
\displaystyle t_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\cos(nx)\, dx
τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα από κάθε δύναμη. Δηλαδή, για κάθε a>0 υπάρχει μια σταθερά C_{\varphi,a}>0 τέτοια ώστε
\displaystyle |t_n|\leq\frac{C_{\varphi,a}}{n^a}
για κάθε n.

Ιουλίου 13, 2009

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:03 πμ

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων A \subseteq {\mathbb R}^n είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

A = \{x \in {\mathbb R}^n: f_i(x) = 0, \forall i=1,2,\ldots,k\}

όπου τα f_i(x) είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές x=(x_1,\ldots,x_n).

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο {\mathbb R}^3 περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

x^2+y^2+z^2-1 = 0,\ x+y+z = 0.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα A, B \subseteq {\mathbb R}^n περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

A \cup B

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή A \cap B περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

Blog στο WordPress.com.