Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων
είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

όπου τα
είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές
.
Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο
περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:
.
Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.
Δείξτε ότι αν τα σύνολα
περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή
περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)
Δείξτε ότι με ένα πλακάκι σχήματος L

μπορείτε να πλακοστρώσετε ένα δωμάτιο
το οποίο έχει μέσα μια 1×1 κολώνα (το πλάτος του κάθε τετραγώνου στο πλακάκι είναι 1, και η κολώνα βρίσκεται σε κάποια ακέραια θέση στο δωμάτιο με κάτω αριστερά γωνία
).
Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 6,8 και 10 έχει περιμέτρο 24 και εμβαδόν 24. Υπάρχουν λίγα ακόμα τρίγωνα με πλευρές που έχουν ακέραιο μήκος και περίμετρο ίση με το εμβαδόν τους. Βρείτε τα.
Δύο αδέρφια κληρονομούν ένα κτήμα που έχει μέσα 2ν μηλιές και 2μ πορτοκαλιές. Μπορούν να το χωρίσουν με μια ευθεία έτσι ώστε ο καθένας να πάρει ακριβώς ν μηλιές και μ πορτοκαλιές;
Οι τελικοί των play-off του πρωταθλήματος μπάσκετ πλησιάζουν και εσείς αποφασίζετε να βάλετε στοίχημα με δυο φίλους σας, έναν οπαδό του Παναθηναϊκού κι έναν του Ολυμπιακού.

(περισσότερα…)
Στις κορυφές Α, B, C, D ενός τετραγώνου με πλευρά 10m βρίσκονται δύο άνδρες (στις θέσεις A, C) και δύο γυναίκες (στις θέσεις B, D). Την ίδια στιγμή όλοι αρχίζουν να κινούνται προς το μέλος του άλλου φύλου που βρίσκεται στην επόμενη κορυφή δεξιόστροφα, δηλ. ο A προς την B, η B προς τον C, ο C προς την D και η D προς τον A. Σε κάθε χρονική στιγμή το κάθε άτομο κινείται απ’ ευθείας προς τον στόχο του και όλοι κινούνται με την ίδια ταχύτητα.
Πόσο συνολικά μήκος θα καλύψει το κάθε άτομο μέχρι που να βρει το στόχο του;
Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση;
Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.

Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που πυροβολεί, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;
Δείξτε ότι κάθε υποσύνολο τού επιπέδου με άπειρο εμβαδό περιέχει τις κορυφές κάποιου τριγώνου με εμβαδό 1.
Το παρακάτω πρόβλημα προτάθηκε από το Δημήτρη Χριστοφίδη:
Να βρεθεί το μέγιστο
ώστε να υπάρχουν σύνολα
τέτοια ώστε
- το κάθε ένα από αυτά να έχει περιττό μέγεθος, και
- η τομή οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών από αυτά να έχει άρτιο μέγεθος.
Υπάρχει ομαλή συνάρτηση
η οποία να παίρνει κάθε τιμή της πεπερασμένο πλήθος φορές;
Ένας μετρικός χώρος λέγεται διαχωρίσιμος αν έχει αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο. Για παράδειγμα, οι πραγματικοί και οι συνεχείς συναρτήσεις σ’ ένα κλειστό διάστημα είναι διαχωρίσιμοι χώροι. Οι φραγμένες ακολουθίες δεν είναι.
Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι ένας διαχωρίσιμος χώρος έχει την ακόλουθη ιδιότητα την οποία, για μυστηριώδεις λόγους, θα ονομάσουμε ccc:
“Κάθε οικογένεια μη κενών, ξένων ανά δυο ανοιχτών συνόλων είναι το πολύ αριθμήσιμη.”
Αυτό μπορείτε να το δείτε ως εξής. Κάθε σύνολο τής οικογένειας περιέχει κάποιο στοιχείο τού πυκνού συνόλου. Η απεικόνιση που στέλνει κάθε σύνολο τής οικογένειας στο αντίστοιχο στοιχείο είναι 1-1.
Το ερώτημα είναι αν ισχύει το αντίστροφο: Αν ένας χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος;
Θεωρήστε ένα πλήρες γράφημα (οποιεσδήποτε δυό κορυφές συνδέονται με ακμή.) Προσανατολίζουμε τις ακμές του γραφήματος επιτρέποντας την κίνηση ανάμεσα σε δύο κορυφές μόνο κατά τη μια φορά. Δείξτε ότι αν το πλήθος των κορυφών του γραφήματος
δεν είναι 2 ή 4 είναι δυνατό να προσανατολίσουμε τις ακμές έτσι ώστε να μπορεί κανείς να πάει από οποιαδήποτε κορυφή σε οποιαδήποτε άλλη περνώντας ενδιάμεσα από μια το πολύ άλλη κορυφή.
Σημείωση: Όποιος λύσει το πρόβλημα “Ικανοποίηση” σίγουρα δεν θα έχει πρόβλημα να λύσει και αυτό το πρόβλημα στην περίπτωση που
.