Συμμετρίες περιοδικών συνόλων

Έστω σύνολο στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα ονομάζεται περίοδος του αν , αν δηλ. το απεικονίζεται επί του εαυτού του αν το μεταφέρουμε κατά . Ένα σύνολο το ονομάζουμε περιοδικό αν έχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητες περιόδους.

Ας είναι ένα σύνολο του επιπέδου που τα στοιχεία του απέχουν ανά δύο τουλάχιστον , μια θετική σταθερά (τέτοια σύνολα τα ονομάζουμε καμιά φορά ομοιόμορφα διακριτά). Αν το είναι περιοδικό δείξτε ότι δε μπορεί να είναι αναλλοίωτο μετά από στροφή κατά γύρω από την αρχή των αξόνων.

Τα αόρατα ακέραια σημεία του επιπέδου

Στεκόμαστε στο σημείο (0, 0) του επιπέδου και κοιτάμε γύρω μας τα ακέραια σημεία του επιπέδου, τα σημεία δηλ. που έχουν και τις δύο συντεταγμένες τους ακέραιες. Αν είναι δύο τέτοια σημεία και για κάποιο τότε το σημείο είναι αόρατο σε μας (αφού η ακτίνα του φωτός που ξεκινάει από αυτό και κατευθύνεται προς εμάς κόβεται στο σημείο που βρίσκεται ανάμεσά μας).

Δείξτε ότι το σύνολο των αόρατων ακέραιων σημείων του επιπέδου περιέχει οσοδήποτε μεγάλα κομμάτια, περιέχει δηλ., για κάθε ένα σύνολο της μορφής

για κατάλληλα επιλεγμένα ακέραια .

Αναδρομική ακολουθία 2

Το παρακάτω πρόβλημα προτείνει ο Τάσος Κοτρώνης.

Γινόμενα πινάκων

Ας είναι δύο πίνακες με μιγαδικά στοιχεία. Για ένα γινόμενο αυτών των πινάκων της μορφής

, με

ονομάζουμε την ποσότητα συνολικό εκθέτη του γινομένου.

Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ .

Έχουν σημασία οι διαστάσεις;

Είναι οι προσθετικές ομάδες και ισόμορφες ή όχι; Οι και ;

Στο παρά πέντε

Σ’ ένα από τα μεγάλα και φημισμένα πανεπιστήμια της Αμερικής υπήρχε κάποτε ένας μεταπτυχιακός φοιτητής που έκανε το διδακτορικό του στον τομέα της Ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, το θέμα στο οποίο δούλευε ήταν μια γενίκευση των συναρτήσεων Lipschitz.

Μια συνάρτηση ορισμένη πάνω σ’ ένα διάστημα λέγεται Lipschitz αν υπάρχει μια σταθερά τέτοια ώστε

, για κάθε .

Π.χ. αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη παντού και για κάθε , τότε είναι Lipschitz, ως απλή εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

Αν, για κάποιο , ισχύει η ανισότητα

, για κάθε ,

τότε η συνάρτηση λέγεται ότι είναι τύπου Lipschitz(). Π.χ. η συνάρτηση είναι Lipschitz() στο διάστημα , όπως μπορεί κανείς εύκολα να δείξει.

Ο φοιτητής μας λοιπόν είχε αποφασίσει να μελετήσει και συναρτήσεις τύπου Lipschitz() αλλά για , μια κλάση συναρτήσεων που δεν είχε μελετηθεί ως τότε, σε αντίθεση με την περίπτωση . Υποθέτοντας λοιπόν ότι μια συνάρτηση είχε αυτή την ιδιότητα απεδείκνυε μετά ένα σωρό ιδιότητες για την , ιδιότητες αρκετά ισχυρές που καθιστούσαν έτσι αυτή την κλάση συναρτήσεων πολύ ενδιαφέρουσα.

Όμως, μερικές μέρες πριν παρουσιάσει το διδακτορικό του, και μετά από κάποιες συζητήσεις που είχε (αυτός κι ο καθηγητής του) με ένα νεοαφιχθέντα καθηγητή του Τμήματός του, το διδακτορικό του αποσύρθηκε και η παρουσίασή του δεν έγινε ποτέ.

Τι είχε συμβεί;

Αδιασταύρωτες διαμερίσεις

Ας είναι . Θα ονομάζουμε μια διαμέρισή του διασταυρωμένη αν υπάρχουν με και  τα ανήκουν στο ίδιο διαμερίζον σύνολο ενώ τα ανήκουν και τα δύο σε κάποιο άλλο διαμερίζον σύνολο. Π.χ. η είναι μια διασταυρωμένη διαμέριση του . Τις διαμερίσεις που δεν είναι διασταυρωμένες θα τις ονομάζουμε αδιασταύρωτες.

Πόσες αδιασταύρωτες διαμερίσεις έχει το ;

Γραμμική κοντά στο μηδέν

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον nixmtp.

Έστω μια συνάρτηση που στέλνει συγκλίνουσες σειρές σε συγκλίνουσες σειρές. Δηλαδή, αν η σειρά συγκλίνει, τότε και η συγκλίνει. Δείξτε ότι υπάρχουν και έτσι ώστε για κάθε .

Κύλινδροι

Μπορείτε να καλύψετε τον χώρο με μια αριθμήσιμη οικογένεια κυλίνδρων οι οποίοι έχουν άπειρο μήκος και εμβαδό διατομής , όπου ;

Υποσύνολα φυσικών

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Δημήτρη Απατσίδη.

Δείξτε ότι υπάρχει μια μη αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε δύο εξ’ αυτών να είναι πεπερασμένο σύνολο.

Αναδρομική εξίσωση

Βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας , αν και

, για .

Καμπύλες με μήκος

Δείξτε ότι αν είναι μια καμπύλη με πεπερασμένο μήκος, τότε σχεδόν κάθε ευθεία τέμνει την σε πεπερασμένο (το πολύ) σύνολο σημείων. “Σχεδόν κάθε ευθεία” σημαίνει “σχεδόν για κάθε και σχεδόν για κάθε , η ευθεία που είναι κάθετη στην κατεύθυνση και είναι σε απόσταση από την αρχή των αξόνων”.

2011

Δείξτε ότι το δεκαδικό ανάπτυγμα κάποιας δύναμης τού 2 ξεκινάει με τα ψηφία 2011.

Θερινό Σχολείο Μαθηματικών 2011, Ηράκλειο

Θα προλάβει όμως;

Στο προηγούμενο πρόβλημα είδαμε ότι ο φοιτητής μπορεί να ποντάρει 1 ευρώ κάθε φορά και αυτό του εξασφαλίζει τη μέγιστη πιθανότητα να συμπληρώσει τα 1000 ευρώ που χρειάζεται για να πάει διακοπές. Δείξτε ότι  δεδομένου ότι φτάνει τα 1000 ευρώ, ο αναμενόμενος αριθμός στοιχημάτων μέχρι να συμπληρώσει αυτό το ποσό είναι 333.333.

Στοίχημα

Ένας φοιτητής έχει 1 ευρώ και χρειάζεται να συγκεντρώσει 1000 ευρώ για να πάει διακοπές. Αποφασίζει να στοιχηματίσει παίζοντας κορώνα-γράμματα με ένα τίμιο νόμισμα, όπου σε κάθε γύρο θα διπλασιάζει το ποντάρισμά του αν προβλέψει σωστά το αποτέλεσμα του στριψίματος  και θα χάνει το ποντάρισμά του αν προβλέψει λάθος. Έχει αποφασίσει να παίζει μέχρι είτε να χάσει όλα του τα χρήματα είτε να συγκεντρώσει τα 1000 ευρώ. Μπορεί σε κάθε γύρο να στοιχηματίσει οποιοδήποτε ακέραιο ποσό σε ευρώ που δεν ξεπερνά την τρέχουσα περιουσία του, αλλά αναρωτιέται αν υπάρχει στρατηγική που θα μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να φτάσει τα 1000 ευρώ. Δείξτε ότι η πιθανότητα αυτή είναι το πολύ 1/1000 και βρείτε μια στρατηγική που του εξασφαλίζει αυτήν την πιθανότητα.

Απλή αναλογική

Σε μια χώρα η κοινοβουλευτική εκπροσώπηση των κομμάτων μετά από εθνικές εκλογές καθορίζεται από το σύστημα της απλής αναλογικής. Συγκεκριμένα, αν υπάρχουν θέσεις στο κοινοβούλιο το πλήθος των εδρών που καταλαμβάνει κάθε κόμμα καθορίζεται ως εξής: αν το ποσοστό του κόμματος στις εκλογές είναι το κόμμα αυτό καταλαμβάνει σε πρώτη φάση έδρες. Έτσι δεν μοιράζονται όλες οι έδρες παρά μόνο αν για κάθε . Οι έδρες που περισσεύουν κατανέμονται στα κόμματα με το μεγαλύτερο υπόλοιπο . Είναι ο αριθμός των εδρών που καταλαμβάνει ένα κόμμα αύξουσα συνάρτηση του συνολικού πλήθους των εδρών ;

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Υπάρχει το , όπου ;

Μέσος όρος

Μπορείτε να γράψετε το άθροισμα σαν τον μέσο όρο των όρων μιας συγκλίνουσας ακολουθίας; Δηλαδή υπάρχει συγκλίνουσα τέτοια ώστε

;

Άπειρα πολλαπλάσια ΙΙ

Το πρόβλημα “άπειρα πολλαπλάσια” λέει ότι αν το είναι ένα μη φραγμένο ανοιχτό σύνολο θετικών αριθμών τότε υπάρχει τέτοιο ώστε άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο . Δείξτε ότι το σύνολο αυτών των είναι πυκνό στο .