Προβλήματα Μαθηματικών

24 Νοεμβρίου, 2011

Γινόμενα πινάκων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:38 πμ

Ας είναι A, B \in {\mathbb C}^{n \times n} δύο n \times n πίνακες με μιγαδικά στοιχεία. Για ένα γινόμενο αυτών των πινάκων της μορφής

A^{a_1}B^{b_1}A^{a_2}B^{b_2}\cdots A^{a_r}B^{b_r}, με a_j, b_j \ge 0

ονομάζουμε την ποσότητα a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_r+b_r συνολικό εκθέτη του γινομένου.

Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων A, B όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ N.

Blog στο WordPress.com.