Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 1, 2008

Το κουτί και το κουτάκι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:21 μμ

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο περιέχεται μέσα σ’ ένα άλλο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Τα δύο παραλληλεπίπεδα δεν είναι κατ’ ανάγκη παράλληλα μεταξύ τους.

Δείξτε ότι το άθροισμα των διαστάσεων του μέσα (μήκος + πλάτος + ύψος) είναι μικρότερο από το άθροισμα διαστάσεων του έξω.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Η επιφάνεια του μέσα ορθογωνίου είναι μικρότερη από του απ’ έξω (δείτε και αυτό το παλιότερο ερώτημα για να δείτε πώς μπορείτε να το δείξετε αυτό).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 5, 2008 @ 9:48 πμ

  2. Υπόδειξης συνέχεια:

    Αν είναι a,b,c οι διαστάσεις του μέσα ορθογωνίου και A,B,C οι διαστάσεις του απ’ έξω, τότε από τη σύγκριση των εμβαδών έχουμε την ανισότητα

    ab+bc+ca \le AB + BC + CA.

    Σκοπός σας είναι να δείξετε την ανισότητα

    a+b+c \le A+B+C,

    ή, ισοδύναμα, την (a+b+c)^2 \le (A+B+C)^2.

    Μπορείτε να βρείτε άλλη μια ανισότητα που να συνδέει τις ποσότητες a,b,c,A,B,C για να τη χρησιμοποιήσετε μαζί με την ανισότητα που προκύπτει από τη σύγκριση των εμβαδών;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 23, 2008 @ 7:57 μμ

  3. Η διάμετρος ενός συνόλου είναι το μέγιστο (supremum για τους λεπτολόγους) των αποστάσεων ανάμεσα σε δύο σημεία του συνόλου. Άρα, αν A \subseteq B τότε η διάμετρος του A είναι \le της διαμέτρου του B. Εφαρμόστε αυτό στα δύο κουτιά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Σεπτεμβρίου 19, 2009 @ 10:01 πμ

  4. Νομιζω ειναι πλεον τετριμμενο. Η διαμετρος του μεγαλου ορθογωνιου παρ/δου ειναι \sqrt{A^2+B^2+C^2} ενω του μικρου ορθογωνιου παρ/δου
    ειναι \sqrt{a^2+b^2+c^2} (εφαρμοσαμε δυο φορες Πυθαγορειο). Οποτε \sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq\sqrt{A^2+B^2+C^2}
    \Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq A^2+B^2+C^2. Προσθετοντας στην τελευταια σχεση δυο φορες την σχεση της 2ης υποδειξης
    παιρνουμε το ζητουμενο στο τετραγωνο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannispantazis — Σεπτεμβρίου 25, 2009 @ 5:08 μμ

  5. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Σεπτεμβρίου 25, 2009 @ 6:17 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: