Προβλήματα Μαθηματικών

18 Ιουνίου, 2020

Πόσα παιδιά είναι αγόρια;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:43 μμ

Το πρώτο πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Το δεύτερο είναι παρόμοιο: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει, και έχει γεννηθεί Τρίτη. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Συνάντησα το δεύτερο πρόβλημα για πρώτη φορά προχτές, και το εκπληκτικό είναι ότι η απάντηση δεν είναι η ίδια. (Υποθέτουμε ότι κάθε μια από τις δύο γέννες είναι εξίσου πιθανό να είναι αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από την άλλη, και ότι όλες οι ημέρες της εβδομάδας είναι εξίσου πιθανές.)

22 Δεκεμβρίου, 2019

Άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:52 πμ

periodic-function

Ας είναι f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0 ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Δείξτε ότι μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πεπερασμένου πλήθους περιοδικών συναρτήσεων του x.

27 Νοεμβρίου, 2019

Πόσα μηδενικά;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:00 μμ
Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.
Ορίζουμε αναδρομικά μια ακολουθία a_n ως εξής:
Θέτουμε a_0=0, και για n\geq0, αν υπάρχει m<n τέτοιο ώστε a_n=a_m, διαλέγουμε το μεγαλύτερο τέτοιο m και θέτουμε a_{n+1}=n-m, διαφορετικά a_{n+1}=0. Είναι η ακολουθία φραγμένη;

24 Οκτωβρίου, 2019

Υπεργεωμετρική

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:47 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Ένα δοχείο περιέχει A κόκκινες και N-A μπλε μπάλες. Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n, και έστω X ο αριθμός των κόκκινων μπαλών. Τότε λέμε ότι η X ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους N, A, n και γράφουμε X\sim\text{Hyp}(N,A,n). Αν X\sim\text{Hyp}(N,A,n) και \mathbb E(X)=1, δείξτε ότι \mathbb P(X=1)\geq\mathbb P(X\geq2).

4 Οκτωβρίου, 2019

Δύο άγνωστοι αριθμοί

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:50 πμ

two-numbers

Κάτω από δύο χαρτάκια είναι γραμμένοι δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, άγνωστοι σε μας.

Διαλέγουμε στην τύχη ένα χαρτάκι, κοιτάμε τον αριθμό που λέει από κάτω, και κερδίζουμε μια καραμέλα αν δηλώσουμε σωστά ότι ο αριθμός που βλέπουμε είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος από τους δύο.

Υπάρχει ένας εύκολος τρόπος να κερδίσουμε την καραμέλα με πιθανότητα 1/2. Ρίχνουμε ένα τίμιο νόμισμα και λέμε «μεγαλύτερος» ή «μικρότερος» ανάλογα με το τι έφερε το νόμισμα, κορώνα ή γράμματα. (Με αυτό τον τρόπο μάλιστα δε λαμβάνουμε καθόλου υπόψιν μας τον αριθμό που είδαμε γραμμένο κάτω από το χαρτάκι που διαλέξαμε.)

Υπάρχει τρόπος να παίξουμε αυτό το παιχνίδι έτσι η πιθανότητα να πάρουμε την καραμέλα να είναι μεγαλύτερη του 1/2;

28 Σεπτεμβρίου, 2019

Δίδυμοι πρώτοι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:36 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης

 

Αποδείξτε πως όταν πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε δύο δίδυμους πρώτους (εκτός από μία περίπτωση), το αποτέλεσμα είναι πάντα αριθμός που δίνει υπόλοιπο 8 μετά από διαίρεση με το 9.

28 Αυγούστου, 2017

Μπορείτε να σκοτώσετε τον ψύλλο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:19 μμ

flea-jumping

Πάνω στο επίπεδο {\mathbb R}^2 βρίσκεται ένας ψύλλος, ο οποίος είναι περιορισμένος να ζει και να κινείται πάνω στο σύνολο των ακεραίων σημείων του επιπέδου {\mathbb Z}^2. Τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στο σημείο (0,0) και από κει και πέρα κινείται σε κάθε δευτερόλεπτο πηδώντας πάντα κατά το ίδιο διάνυσμα.

Με άλλα λόγια ο ψύλλος κινείται πάνω σε μια ευθεία και μάλιστα πάνω στα ακέραια σημεία της ευθείας αυτής, με σταθερή ταχύτητα. Για παράδειγμα θα μπορούσε σε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να πηδάει κατά το διάνυσμα

v=(2,3).

Ο ψύλλος αυτός σας ενοχλεί και θέλετε να τον σκοτώσετε. Μπορείτε κάθε ακέραια χρονική στιγμή να χτυπάτε ένα από τα ακέραια σημεία του επιπέδου με την ελπίδα ότι ο ψύλλος βρίσκεται τότε εκεί και θα τον σκοτώσετε.

Δε βλέπετε όμως πού είναι ο ψύλλος (παρά μόνο αφού τον σκοτώσετε) ούτε ξέρετε ποιο είναι το διάνυσμα κίνησης του ψύλλου v.

Μπορείτε να ακολουθήσετε μια μέθοδο χτυπημάτων που θα είναι σίγουρο ότι θα πετύχει τον ψύλλο αργά η γρήγορα; (Τη χρονική στιγμή 0 δε μπορείτε να χτυπήσετε. Αρχίζετε τη χρονική στιγμή 1.)

Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Miklos Laczkovich.

26 Ιανουαρίου, 2017

Κοντά στη μετάθεση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:01 μμ

Αν f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια συνάρτηση, για t\in\mathbb R θέτουμε f_t(x)=f(x-t) (η μετάθεση). Αν η f είναι ολοκληρώσιμη και για κάποιο \theta>1 έχουμε \|f-f_t\|_1\leq|t|^{\theta} για όλα τα t, τότε f=0 σχεδόν παντού. Τι συμβαίνει αν \theta=1;

30 Ιουνίου, 2016

Σχεδόν αύξουσα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:58 πμ

Ας είναι f:\mathbb R\to\mathbb R μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε n\in\mathbb N ισχύει ότι f(x+\frac1n)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x. Δείξτε ότι για κάθε a\geq0 έχουμε ότι f(x+a)\geq f(x) για σχεδόν όλα τα x.

Σειρά μεταθέσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:48 πμ

Αν η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι ολοκληρώσιμη, τότε η σειρά

\displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt n}f\left(x-\sqrt n\right)}

συγκλίνει για σχεδόν όλα τα x.

8 Σεπτεμβρίου, 2015

Η περίοδος του αθροίσματος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:19 μμ

Ας είναι f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους ακεραίους. Ένας φυσικός αριθμός T>0 λέγεται περίοδος της f αν f(x+T) = f(x),\ \ \forall x \in {\mathbb Z}. Αν υπάρχει τέτοιο T τότε η f λέγεται περιοδική. Έυκολα βλέπει κανείς ότι η ελάχιστη περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης διαιρεί κάθε άλλη περίοδο και ότι κάθε πολλαπλάσιο περιόδου είναι κι αυτό περίοδος.

Αν είναι a, b>0 δύο φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και f, g δυο συναρτήσεις επί των ακεραίων με ελάχιστη περίοδο a και b αντίστοιχα δείξτε ότι η συνάρτηση f+g είναι επίσης περιοδική και μάλιστα με ελάχιστη περίοδο το ab. (Η έμφαση είναι στο «ελάχιστη».)

Τι λέτε για την ελάχιστη περίοδο της f+g αν οι a,b δεν είναι μεταξύ τους πρώτοι;

22 Ιουλίου, 2015

Στο πνεύμα των ημερών.

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:27 μμ

Στο μακάβριο πνεύμα των σχολίων της προηγούμενης ανάρτησης, Ν στρατιώτες πυροβολούν Ν κατάδικους. 1. Κάθε στρατιώτης πυροβολεί ακριβώς ένα κατάδικο και είναι 100% εύστοχος. 2. Κανένας κατάδικος δεν πυροβολείται από περισσότερους από ένα στρατιώτη (εκτός από τον Herr Schäuble που θέλει ομοβροντία). Ποια η πιθανότητα k στρατιώτες να πυροβολήσουν τους κατάδικους που είναι απέναντι τους; Και για να το καταλάβει και ο μπακάλης της γειτονιάς, ποια η πιθανότητα μια τυχαία μετάθεση να έχει k σταθερά σημεία;

20 Ιουλίου, 2015

Επί

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:46 μμ

Έστω A και B δυο πεπερασμένα σύνολα με το B να έχει το πολύ τόσα στοιχεία όσα και το A. Διαλέγουμε στην τύχη μια συνάρτηση από το A στο B. Ποια η πιθανότητα να είναι επί;

Ασύμμετρα σύνολα

Ένα ακόμα πρόβλημα από τον Κωνσταντίνο Κουρουζίδη

Για κάθε δυαδικό διάνυσμα x\in\{0,1\}^n θέτουμε \hat x να είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες \hat x(j)=1-x(j). Ένα σύνολο δυαδικών διανυσμάτων A λέγεται ασύμμετρο αν x\in A\Rightarrow \hat x\notin A. Πόσα ασύμμετρα σύνολα υπάρχουν;

4 Ιουλίου, 2015

Συμμετρική κατάσταση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:50 μμ

y

Γνωρίζουμε πολύ καλά ότι αν e_1=(1,0), e_2=(0,1) είναι τα συνηθισμένα διανύσματα βάσης στο επίιπεδο {\mathbb R}^2 τότε κάθε διάνυσμα v\in{\mathbb R}^2 μπορεί να γραφεί ως:

v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \langle v, e_2 \rangle e_2.

Μπορεί δηλ. να γραφεί το v ως γραμμικός συνδυασμός των e_1, e_2 όπου οι συντελεστές είναι απλά τα εσωτερικά γινόμενα με τα διανύσματα αυτά. Το ίδιο φυσικά ισχύει αν στη θέση των e_1, e_2 βάλουμε δύο οποιαδήποτε ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του επιπέδου με μέτρο 1.

Αν \phi_1 = (\sqrt{2/3}, 0) και \phi_2, \phi_3 είναι οι περιστροφές του \phi_1 κατά \pm\frac{2\pi}{3} αντίστοιχα (όπως φαίνονται στο σχήμα παραπάνω), δείξτε ότι και για τα \phi_1, \phi_2, \phi_3 ισχύει ότι κάθε διάνυσμα v\in{\mathbb R}^2 μπορεί να γραφεί ως:

v = \sum_{j=1}^3 \langle v, \phi_j \rangle \phi_j.

1 Ιουλίου, 2015

Εδώ ο κόσμος χάνεται…

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:44 μμ

… και εμείς υπολογίζουμε αθροίσματα!!!     Αν οι αριθμοί x_1,x_2,\dots,x_n έχουν άθροισμα μηδέν και είναι όλοι απόλυτα φραγμένοι από μια θετική σταθερά c, τότε υπάρχει αναδιάταξη x_1=x_{k_1},x_{k_2},\dots,x_{k_n} τέτοια ώστε  \displaystyle\left|\sum_{j\leq i} x_{k_j}\right|\leq c για κάθε i. Το πρόβλημα πρότεινε ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

30 Ιουνίου, 2015

Πόσο μπορεί να επηρεάσει το νόμισμα;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:46 μμ

greek-euro    drachma

Δύο φίλοι, ο Β και ο S, παίζουν ένα παιχνίδι με κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο έχει τα δικά του κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο ρίχνει όλα τα κέρματά του (μια φορά) και κερδίζει όποιος έφερε τις περισσότερες κορώνες.

Ο Β πιστεύει ότι έχοντας περισσότερα κέρματα στα χέρια του θα καταφέρει πιο εύκολα να κερδίσει τον S. Έτσι επιλέγει ένα φθηνότερο νόμισμα το οποίο του επιτρέπει έχει περισσότερα κέρματα από τον S. Όντας όμως φτωχότερος από τον S ο Β καταφέρνει να έχει μόνο ένα κέρμα παραπάνω από τον S.

Πόσο επηρεάζεται η πιθανότητα να κερδίσει ο Β τον S από το γεγονός ότι έχει ένα κέρμα παραπάνω;

28 Ιουνίου, 2015

Πάντα θετικό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:59 μμ

positive

Δείξτε ότι το πολυώνυμο

p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!}

είναι πάντα θετικό (για κάθε x\in{\mathbb R}, n=1, 2, \ldots).

26 Ιουνίου, 2015

Χαοτικός χρωματισμός

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:35 μμ

colored-row

Έχουμε 1000 κουτιά στη σειρά (στις θέσεις 1, 2, 3, … , 1000).

Δείξτε ότι μπορούμε να τα βάψουμε με δύο χρώματα, π.χ. κόκκινα ή μπλε, με τέτοιο τρόπο ώστε να μην υπάρχει αριθμητική πρόοδος μήκους 20 από κουτιά που να είναι όλα το ίδιο χρώμα.

21 Ιουνίου, 2015

Αλυσίδα υποσυνόλων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:54 μμ

Μια οικογένεια συνόλων την ονομάζουμε αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο σύνολα της οικογένειας είναι συγκρίσιμα, περιέχει δηλ. το πρώτο σύνολο το δεύτερο ή το δεύτερο περιέχει το πρώτο.

nested

Πόσα σύνολα μπορεί να περιέχει μια αλυσίδα υποσυνόλων ενός άπειρου συνόλου; Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει άπειρο σύνολο κάθε αλυσίδα του οποίου να είναι αριθμήσιμη;

Επόμενη σελίδα: »

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: