Προβλήματα Μαθηματικών

18 Ιουνίου, 2020

Πόσα παιδιά είναι αγόρια;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:43 μμ

Το πρώτο πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Το δεύτερο είναι παρόμοιο: συναντάμε στο δρόμο ένα φίλο μας από τα παλιά και μας λέει ότι έχει δύο παιδιά. Έχεις γιο; τον ρωτάμε. Έχω, μας απαντάει, και έχει γεννηθεί Τρίτη. Ποια η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Συνάντησα το δεύτερο πρόβλημα για πρώτη φορά προχτές, και το εκπληκτικό είναι ότι η απάντηση δεν είναι η ίδια. (Υποθέτουμε ότι κάθε μια από τις δύο γέννες είναι εξίσου πιθανό να είναι αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από την άλλη, και ότι όλες οι ημέρες της εβδομάδας είναι εξίσου πιθανές.)

39 Σχόλια »

  1. Το πρώτο είναι αυτό εδώ που εξηγήσατε σε βίντεο έχω την εντύπωση: https://www.youtube.com/watch?v=fCPfntJeBJw
    Για όσους αναρωτιούνται..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Ιουνίου, 2020 @ 10:53 πμ

  2. Το πρώτο πρόβλημα είναι κλασική περίπτωση δεσμευμένης πιθανότητας με απάντηση 1/3.
    Για το δεύτερο, μια ερώτηση Μιχάλη: Θεωρείς ότι η πιθανότητα είναι 13/27 ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:13 μμ

  3. 2: Γιατί να είναι 13/27;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:25 μμ

  4. Και πόσο θες να είναι; 🙂
    Εντάξει, δε θέλω να παίξουμε την κολοκυθιά , ούτε η ερώτησή μου υπέκρυπτε κάποια πρόθεση «ψαρέματος»
    Απλώς , σε κάποιους κύκλους το 13/27 θεωρείται αναμφισβήτητα το σωστό, ενώ σε κάποιους άλλους όχι. Για την ακρίβεια, οι δεύτεροι «κύκλοι» (count me in!) θεωρούν το πρόβλημα underdefined.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:52 μμ

  5. Ωραία, γιατί είναι underdefined;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 20 Ιουνίου, 2020 @ 11:58 μμ

  6. Ωραία! Θα περιμένω να διαβάσω και την προσέγγιση άλλων φίλων της σελίδας, και τα ξαναλέμε!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 21 Ιουνίου, 2020 @ 12:04 πμ

  7. Ποιός να είναι ο δειγματικός μας χώρος εδώ άραγε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 21 Ιουνίου, 2020 @ 10:45 πμ

  8. Η προσέγγιση μου έχει αυτή τη δομή. Ονομάζω: \Omega=(A_1\cup A_2)\cup(A_1\cup A_2)^{c}, όπου A_1 είναι όλα τα ενδεχόμενα όπου στη πρώτη γέννα θα είναι αγόρι και A_2 όλα τα ενδεχόμενα όπου στη δεύτερη γέννα είναι οπωσδήποτε αγόρι. Προσέχουμε όμως, τουλάχιστον ένα από αυτά τα αγόρια στα δύο σύνολα να έχει γεννηθεί την Τρίτη. Τα A_1, και A_2 έχουν μη κενή τομή. Αντιστοιχούμε για συντομία σε όλες τις μέρες τις βδομάδας ένα γράμμα του Ελληνικού αλφαβήτου: Δευτέρα:α, Τρίτη:β, Τετάρτη:γ, Πέμπτη:δ, Παρασκευή:ε, Σάββατο:ζ, Κυριακή:η. Το πρώτο στοιχείο στα ζεύγη που ακολουθούν είναι το αποτέλεσμα της πρώτης γέννας και το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσμα της δεύτερης. Ξεκινάμε: A_1={(α- αγόρι,β- αγόρι),(β- αγόρι, α- αγόρι),(β- αγόρι,β- αγόρι)–δίδυμα αγοράκια,(γ- αγόρι, β- αγόρι),(β- αγόρι, γ- αγόρι),(δ- αγόρι, β- αγόρι), (ε- αγόρι, β- αγόρι), (β- αγόρι, ε- αγόρι), (ζ- αγόρι, β- αγόρι), (β- αγόρι, ζ- αγόρι),(η- αγόρι, β αγόρι),(β αγόρι, η αγόρι), «ξεκινάνε γέννες που έχουν και κορίτσια»,((β- αγόρι, α- κορίτσι),(β-αγόρι, β- κορίτσι),(β-αγόρι, γ- κορίτσι),(β-αγόρι, δ- κορίτσι),(β-αγόρι, ε- κορίτσι),(β-αγόρι, ζ- κορίτσι),(β-αγόρι, η- κορίτσι)}. Μετά προχωράμε με το A_2 κ.λ.π.
    Η απάντηση νομίζω είναι: \frac{|A_1\cup A_2|}{|\Omega|}. Τί νομίζετε;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 4:26 μμ

  9. Στο A_1 θα μπορούσαμε να έχουμε επιπλέον δύο στοιχεία: (β-αγόρι, β-αγόρι), όπου δεν πρόκειται για δίδυμα, αλλά για δύο αγοράκια που γεννήθηκαν Τρίτη και έχουν διαφορά ηλικίας. Επίσης το (β- αγόρι, β- κορίτσι) διζυγωτικά δίδυμα. Οπότε |A_1|=21 Συνεχίζω με το A_2. A_2={(α-κορίτσι, β-αγόρι),(β-κορίτσι, β-αγόρι)–δίδυμα πάλι! ,(β-κορίτσι, β-αγόρι)–όχι δίδυμα όμως, διαφορετικής χρονιάς αδέλφια 🙂 , (γ-κορίτσι, β-αγόρι), (δ-κορίτσι, β-αγόρι), (ε-κορίτσι, β-αγόρι), (ζ-κορίτσι, β-αγόρι), (η-κορίτσι, β-αγόρι), (α-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, β-αγόρι)-δίδυμα,(β-αγόρι, β-αγόρι)-διαφορετικά έτη-(γ-αγόρι, β-αγόρι),(δ-αγόρι, β-αγόρι), (ε-αγόρι, β-αγόρι), (ζ-αγόρι, β-αγόρι), (η-αγόρι, β-αγόρι)}. Βλέπουμε πως |A_2|=16. Ακολούθως θα υπολογίσω τον πληθάριθμο της ένωσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:02 μμ

  10. Δεν πρόσθεσα στο A_2 τις περιπτωσεις: (β-αγόρι, α-αγόρι), (β-αγόρι, γ-αγόρι), (β-αγόρι, δ-αγόρι), (β-αγόρι, ε-αγόρι), (β-αγόρι, ζ-αγόρι), (β-αγόρι, η-αγόρι). Οπότε |A_2|=22.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:31 μμ

  11. Ξέχασα και στο Α_1 το (β- αγόρι, δ- αγόρι). Άρα |A_1|=|A_2|=22. Από τον τρόπο που όρισα τα A_1,A_2 πρέπει να έχουν τον ίδιο πληθάριθμο βέβαια. Τώρα πρέπει να αφαιρέσω το διπλομέτρημα, για να βρω τον πληθάριθμο της ένωσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 6:38 μμ

  12. A_1\cap A_2={(α-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, α-αγόρι), (β-αγόρι, β-αγόρι)-μονοζυγωτικά δίδυμα, (β-αγόρι, β-αγόρι)-όχι δίδυμα, (β-αγόρι, γ-αγόρι), (γ-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, δ-αγόρι),(δ-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, ε-αγόρι), (ε-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, ζ-αγόρι), (ζ-αγόρι, β-αγόρι), (η-αγόρι, β-αγόρι), (β-αγόρι, η-αγόρι)}. Αυτό είναι το διπλομέτρημα που αποτελείτε από 14 ζεύγη. Οπότε \left|A_1\cup A_2\right|=22+22-14=30.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουνίου, 2020 @ 7:06 μμ

  13. Νομίζω ότι σε αυτό το πρόβλημα είναι καλό να διαχωρίσουμε το καθαρά μαθηματικό κομμάτι από αυτό της διατύπωσης. Εξηγούμαι:
    Έστω ότι διαλέγω τυχαία με επανάθεση από ένα δοχείο με 14 αριθμημένες σφαίρες (1 έως 14) δύο φορές.
    1. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5;
    2. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5 με δεδομένο ότι έχω διαλέξει τουλάχιστον μία φορά αριθμό μικρότερο του 7.5;
    3. Ποια η πιθανότητα να έχω επιλέξει και τις δύο φορές αριθμό μικρότερο του 7,5 με δεδομένο ότι έχω διαλέξει τουλάχιστον μία φορά αριθμό το 1;

    Στα παραπάνω νομίζω ότι υπολογίζονται «εύκολα» (https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability#Kolmogorov_definition) οι πιθανότητες
    1/4 , 1/3 και 13/27.

    Είναι το αρχικό ερώτημα το ίδιο; Προσωπικά πιστεύω πως είναι, αλλά οι δεύτεροι «κύκλοι» δεν ερμηνεύουν τη διατύπωση με αυτό τον τρόπο. Φιλολογικά θέματα…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 1:09 πμ

  14. Νομίζω πως έτσι όπως έχω ορίσει το πρόβλημα εγώ (με δίδυμα, αλλά και με παιδιά διαφορετικών ετών που γεννήθηκαν την ίδια μέρα) η απάντηση είναι: \frac{\left|A_{1}\cap A_{2}\right|}{\left|A_{1}\cup A_{2}\right|}=14/30=7/15<1/2. Το οποίο είναι πολύ κοντά στο 13/27.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 7:27 πμ

  15. 13: Πολύ καλά. (Μόνο που μας μπερδεύεις λίγο με αυτό το … 7,5.) Να συμπληρώσω, για να είναι πιο ξεκάθαρο, ότι οι 14 σφαίρες που έχεις στο δοχείο έχουν επάνω τους και τα 14 «ονόματα» (x, y), όπου x είναι αγόρι ή κορίτσι και y είναι οι μέρες της εβδομάδας. Η σφαίρα 1 στην οποία αναφέρεσαι έχει επάνω της (αγόρι, Τρίτη).

    14: Δε μας ενδιαφέρει στο πρόβλημα αυτό ποια ημερομηνία ακριβώς γεννήθηκε το κάθε παιδί, άρα το να σκέφτεται κανείς για δίδυμα ή όχι είναι σε λάθος δρόμο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 23 Ιουνίου, 2020 @ 7:34 πμ

  16. Θεωρώ ότι το ακόλουθο paper της Τάνιας Κοβάνοβα , μαθηματικού του MIT , είναι ό,τι πληρέστερο έχει γραφτεί σχετικά:

    Click to access 1102.0173.pdf

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 8:41 πμ

  17. 15: Αν ορίσω όμως τα σύνολά μου, ακριβώς όπως τα όρισα στο σχόλιο 8., δηλαδή, το Α_1 είναι όλα τα ζεύγη όπου το πρώτο είναι αγόρι, αλλά τουλάχιστον ένα από τα δύο αγόρια στο κάθε ζεύγος να έχει γεννηθεί Τρίτη και το A_2 το δεύτερο να είναι αγόρι με την ιδιότητα τουλάχιστον ένα απ’αυτά τα ζεύγη να έχει γεννηθεί Τρίτη και κοιτάξω το λόγο που γράφω στο σχόλιο 14. βρίσκω 13/27. Ουσιαστικά αυτός ο τρόπος επίλυσης αντιπροσωπεύει το γεγονός ότι ο φίλος που συναντάμε δε μας λέει αν είναι το πρώτο παιδί αυτό ή το δεύτερο στη σειρά που είναι αγόρι και έχει γεννηθεί Τρίτη. Σωστό;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:09 πμ

  18. Γιώργο, βλέπω πως στη παράγραφο 2.1. λέει πως αυτή η μέθοδος μου είναι λάθος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:13 πμ

  19. Κωνσταντίνε, δεν υπάρχει ακριβώς λαθος. Η Τάνια λέει ότι η πιθανότητα (ουσιαστικά δηλαδή ο δειγματικος χώρος. Τα υπόλοιπα είναι απλή καταμέτρηση) εξαρτάται από τον ακριβή τρόπο που ή μάλλον για τον όποιον ο πατέρας κάνει τη δήλωση του. Δες το 4. και τον φανταστικό διάλογο με τον «Jack»

    Υγ. Μιχάλη, εσυ τι λες;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:44 πμ

  20. Τώρα δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστή η μέθοδος μου ή όχι. Πάντως ο πληθάριθμος του A_1 , έτσι όπως τον όρισα είναι 20, το ίδιο και του Α_2. Ο πληθάριθμος της τομής είναι 13, οπότε ο πληθάριθμος της ένωσης είναι 20+20-13=27. Το παρήγορο, είναι, απ’όσες ματιές έριξα στα άρθρα αυτά τώρα, ότι δεν είμαι ο μόνος που μπερδεύτηκε με τη διαίσθηση του!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:46 πμ

  21. 19: Η ουσία με το φαντασικό διάλογο του Jack είναι στο τέλος. Αν η βδομάδα είχε περισσότερες μέρες, η μέθοδος μου θα έδινε το ίδιο αποτέλεσμα με του κ. Κολουντζάκη; Ναι ή όχι;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 9:57 πμ

  22. Στο σχόλιο του Shortmanikou, κοιτάζει τη διάμεσο των αριθμών 1,…,14, που είναι το \frac{7+8}{2} ; Αν ναι, τότε είναι ενδιαφέρον το πρόβλημα. Νομίζω το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι … simulation.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 23 Ιουνίου, 2020 @ 11:17 πμ

  23. Αν μας έλεγε στο πρόβλημα πως έχει κόρη και γεννήθηκε π.χ. πρώτη Μαϊου, ποιά η πιθανότητα το δεύτερο παιδί του να είναι αγόρι;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 25 Ιουνίου, 2020 @ 9:17 μμ

  24. Έχεις κόρη τον ρωτάμε; Και απαντάει όπως πιο πάνω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 25 Ιουνίου, 2020 @ 9:19 μμ

  25. 15-22: Ζητάω συγνώμη για το 7,5. Όταν μιλάμε για ακέραιους το x < 7,5 είναι ένας τρόπος να γράψεις το x \le 7 .
    23: Για να μην έχουμε θέμα με τη διατύπωση μιλάμε για το πρόβλημα:
    Α το ενδεχόμενο να έχω δύο κορίτσια
    Β το ενδεχόμενο να έχω τουλάχιστον ένα κορίτσι γεννημένο 1η Μαΐου
    Ποια η πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β;

    Το "γεννημένο 1η Μαΐου" είναι ένα ενδεχόμενο με πιθανότητα p ( = 1/365.25 περίπου – είναι και τα δίσεκτα… ). Γενικά αν η εξτρά πληροφορία έχει πιθανότητα p θα έχω για το P(Β) ότι είναι η πιθανότητα να έχω το ζητούμενο στο πρώτο παιδί + να το έχω στο δεύτερο – να το έχω και στα δύο. Άρα
    P(B) = \frac{1}{2} \cdot p  + \frac{1}{2} \cdot p - \frac{p^2}{4} = \frac{4p-p^2}{4}.
    Για την πιθανότητα A \cap B θέλω να έχω δύο κορίτσια και τουλάχιστον ένα να έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Άρα ή να την έχει μόνο το πρώτο ή μόνο το δεύτερο ή και τα δύο. Άρα
    P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot p \frac{1}{2} \cdot (1-p) + \frac{1}{2} \cdot (1-p) \frac{1}{2} \cdot p + \frac{1}{2} \cdot p \frac{1}{2} \cdot p = \frac{2p(1-p)}{4} + \frac{p^2}{4} = \frac{2p - p^2}{4}.

    Άρα από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχω
    P(A|B) = \frac{2p - p^2}{4p-p^2}.

    Για p = 1/7 θα πάρουμε το 13/27, για p = 1/365 την αντίστοιχη πιθανότητα με την ημερομηνία γέννησης. Αν θέλουμε (Α = ένα μόνο κορίτσι) απλά παρατηρούμε ότι αφού δεν μπορεί να έχω δύο αγόρια (γνωρίζω ότι υπάρχει μία κόρη) η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι αγόρι είναι απλά 1 μείον την πιθανότητα να είναι κορίτσι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:44 πμ

  26. Κι αν η κόρη έχει γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου ; … αλλάζει η πιθανότητα προφανώς (!?) ?
    Αν ο πατέρας πει έχω ένα γιο που γεννήθηκε όταν είχαμε για μεσημεριανό φασολάκια; …

    Συγνώμη,αλλά Αν δεν υποδειχθεί στην όποια σχετική εκφώνηση ο ΑΚΡΙΒΗΣ τρόπος συλλογής της πληροφορίας που μεταφέρει ο πατέρας, ΔΕΝ μπορεί να προσδιοριστεί ο δειγματικός χώρος, και το πρόβλημα έχει ambiguity. Όπως τα γράφει η Τάνια!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 11:21 πμ

  27. Όπως γράφω στην εκφώνηση το ζευγάρι πραγματοποιεί δύο γέννες. Είναι ανεξάρτητες και κάθε μια φέρνει με ίδια πιθανότητα αγόρι ή κορίτσι και, επίσης ανεξάρτητα, μια οποιαδήποτε μέρα της εβδομάδας. Νομίζω όλα είναι καλώς ορισμένα και σαφή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 26 Ιουνίου, 2020 @ 12:36 μμ

  28. 25,26,27: Νομίζω αυτό που μαθαίνει κανείς από αυτό το παράδειγμα είναι το ότι αν δώσουν επιπλέον πληροφορία, (που είναι καλώς ορισμένη) αυτό μπορεί εν γένη να αλλάξει την πιθανότητα που θέλουμε να βρούμε! Αυτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:23 μμ

  29. Μιχάλη, όπως το θέτεις στο 27. είναι η Gender-neutral , Day of the week- neutral περίπτωση , δηλαδή έχεις επιλέξει τυχαία έναν πατέρα με δύο παιδιά. Κατόπιν του δόθηκε η εντολή να επιλέξει να αναφερθεί σε ένα από τα δύο τυχαία ,ρίχνοντας ας πούμε ένα κέρμα. Κατόπιν πρέπει να μεταφέρει την αληθινή πληροφορία σχετικά στη μορφή: «Έχω έναν/μία γιο/κόρη γεννημένο/γεννημένη την Δευτ/Τρίτη/…/Κυριακή. Αν η δηλωσή του είναι «έχω ένα γιο γεννημένο Τρίτη» ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο παιδί να είναι αγόρι;
    Η απάντηση σ αυτή την περίπτωση είναι 1/2 . ( ο υπολογισμός υπάρχει στο paper της Τάνιας)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:31 μμ

  30. Κατά την ταπεινή μου γνώμη, όπως τίθεται το πρόβλημα αρχικά στην εκφώνηση («έχεις γιο;») το πρόβλημα ανάγεται στη δεύτερη περίπτωση «boy-centered, day of the week neutral” από το 2.2 της Τάνιας, και η απάντηση σ´αυτην την περίπτωση είναι 1/3.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 1:42 μμ

  31. Μια τελευταία ερώτηση, Μιχάλη. Ποια θεωρείς τη σωστή απάντηση από το σχόλιο 13. του shortmanikos.;Προφανώς θεωρείς ότι αυτό το σχόλιο έλυσε το πρόβλημα, αφού αμέσως μετά την ανάρτηση του άλλαξες το tag σε «λυμένο», αλλά δεν είναι ξεκάθαρο για μένα ποια απάντηση θεωρείς τη σωστή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 6:48 μμ

  32. 31: Από τα 3 που αναφέρει ο shortmanikos το τελευταίο είναι το πρόβλημα που ρώτησα. Άρα η απάντηση είναι 13/27.

    29: Δεν υπάρχει τυχαίος πατέρας και δεν επιλέγει τυχαία κανένα παιδί. Ένας πατέρας είναι που εκτελεί την ίδια τυχαία πράξη (γέννα) δύο ανεξάρτητες φορές. Σε κάθε γέννα επιλέγεται τυχαία το φύλο και η μέρα, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Σε αυτό το πείραμα δεσμεύουμε ως προς το ενδεχόμενο μια από τις δύο γέννες να δώσει αγόρι που γεννήθηκε Τρίτη και ρωτάμε για την πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 26 Ιουνίου, 2020 @ 6:55 μμ

  33. 32. Δε συμφωνώ. Όταν ρωτάς «έχεις γιο;» ουσιαστικά δημιουργείς περιορισμένο δειγματικό χώρο. Συμφωνείς ότι σε τυχόν απάντηση του πατέρα «-Όχι» πρέπει να τον «διώξεις» (για να έχει νόημα η απάντηση του) και να επιλέξεις κάποιον άλλο πατέρα με 2 παιδιά που να έχει τουλάχιστον έναν γιο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 7:20 μμ

  34. Γιώργο, γιατί να επιλεξεις κάποιον άλλο πατέρα; Φαίνεται το μπέρδεψες. Αν σου πει όχι, τότε έχει δύο κόρες… Ο δειγματικός χώρος φαίνεται ξεκάθαρα στο A_1 ένωση A_2 όπως το όρισα στο 8. Στο τέλος έκανα λάθος, αλλά το διόρθωσα στο 14. Modulo το ότι κάνουμε την υπόθεση ότι δεν έχει δίδυμα ο τρόπος μου είναι σωστός και μεθοδικός πιστεύω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Ιουνίου, 2020 @ 7:37 μμ

  35. Για μένα είναι ξεκάθαρο ότι όπως τίθεται το πρόβλημα στην εκφώνηση η σωστή απάντηση είναι 1/3 και όχι 13/27.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 26 Ιουνίου, 2020 @ 11:09 μμ

  36. Γιατί όμως πιστεύεις πως η απάντηση είναι 1/3;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 10:25 πμ

  37. Κωνσταντίνε, το εξηγώ στο σχόλιο 30.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — 27 Ιουνίου, 2020 @ 11:35 πμ

  38. Θα έλεγα πως το πρόβλημα του καθηγητή ανάγεται στη περίπτωση: Boy centered, Tuesday centered procedure της Τάνιας. Όπως λέει, ένας πατέρας δύο αγοριών έχει γιο γεννημένο Τρίτη σε 13 περιπτώσεις. Γιατί είναι αυτή η αναγωγή του προβλήματος; Το καταλαβαίνουμε από τη δήλωση του πατέρα. Αυτή καθορίζει το δειγματικό χώρο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 12:01 μμ

  39. Το (A_1\cup A_2)^{c} αποτελείται από όλα τα ζεύγη από παιδάκια, όπου δεν υπάρχει κανένα αγόρι που γεννήθηκε την Τρίτη. Είναι 162. Όλα αυτά είναι εκτός δειγματικού χώρου. Ο δειγματικός μας χώρος αποτελείται από 27 στοιχεία (ζεύγη) και τα 13 από αυτά έχουν δύο αγόρια εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι γεννημένο Τρίτη. Είναι trivial.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Ιουνίου, 2020 @ 12:12 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: