Προβλήματα Μαθηματικών

27 Νοεμβρίου, 2019

Πόσα μηδενικά;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:00 μμ
Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.
Ορίζουμε αναδρομικά μια ακολουθία a_n ως εξής:
Θέτουμε a_0=0, και για n\geq0, αν υπάρχει m<n τέτοιο ώστε a_n=a_m, διαλέγουμε το μεγαλύτερο τέτοιο m και θέτουμε a_{n+1}=n-m, διαφορετικά a_{n+1}=0. Είναι η ακολουθία φραγμένη;

10 Σχόλια »

  1. Εύχομαι καταρχάς καλή χρονιά με υγεία, δύναμη και θετική σκέψη σε όλους τους φίλους!
    Ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία είναι φραγμένη και ότι ο μέγιστος όρος της έχει τιμή Μ. Έπεται ότι οι όροι τής ακολουθίας, από κάποια στιγμή και μετά, θα έχουν τιμές από 1 έως Μ (τιμές 0 θα προϋπέθεταν κάθε φορά την παρουσία πρωτοεμφανιζόμενου όρου, πράγμα που σε φραγμένη ακολουθία κάποια στιγμή παύει να συμβαίνει). Οποιοδήποτε μπλοκ Μ+1 συνεχόμενων όρων με το πολύ Μ στο πλήθος δυνατές τιμές, από 1 έως Μ, ορίζει όλη την από εκεί και μετά ακολουθία. Υπάρχουν Μ^(Μ+1) στο πλήθος τέτοια μπλοκ, επομένως κάποια στιγμή θα υπάρξει επανάληψη κάποιου μπλοκ, δηλαδή η ακολουθία θα καταλήξει εν τέλει περιοδική.
    Έστω α ο πρώτος όρος της περιόδου, ω ο τελευταίος όρος και μ το μήκος της περιόδου. Μετά από την εμφάνιση τού ω ως τελευταίου όρου της πρώτης περιόδου, ακολουθεί αμέσως α, ενώ η επόμενη εμφάνιση ω μπορεί να γίνει σε λ βήματα από την προηγούμενη, με 1≤λ≤μ, και αμέσως μετά το ω ακολουθεί εμφάνιση ως όρου τού λ. Εφόσον όμως το πρώτο ω στη δεύτερη περίοδο εμφανίζεται σε λ βήματα από την προηγούμενη εμφάνισή του ως τελευταίου όρου της πρώτης περιόδου, θα πρέπει και το πρώτο ω της πρώτης περιόδου να εμφανίζεται σε ανάλογη θέση, επίσης ακολουθούμενο από λ, που σημαίνει ότι η αμέσως προηγούμενη εμφάνιση ω είναι λ θέσεις πιο πίσω, δηλαδή ακριβώς πριν από τον πρώτο όρο α της πρώτης περιόδου. Από αυτό συνεπάγεται ότι η περιοδικότητα της ακολουθίας αρχίζει μία ακριβώς θέση πριν από αυτή που θεωρήσαμε.
    Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία όσες φορές χρειάζεται προς τα πίσω, καταλήγουμε ότι η περιοδικότητα ξεκινάει από την αρχή της ακολουθίας, δηλαδή από τον αρχικό όρο 0. Αλλά το περιοδικό μέρος της ακολουθίας δεν περιέχει όρο 0, αντίφαση.
    Συνεπώς η ακολουθία δεν είναι όπως υποθέσαμε φραγμένη (ήτοι τα μηδενικά της είναι ατελείωτα..)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 4 Ιανουαρίου, 2020 @ 11:48 μμ

  2. Καλή χρονιά και καλά Χριστούγεννα. Θα ήθελα κάποιες διευκρινήσεις. Γράφεις στη πρώτη παράγραφο: «Οποιοδήποτε μπλοκ Μ+1 συνεχόμενων όρων με το πολύ Μ στο πλήθος δυνατές τιμές, από 1 έως Μ, ορίζει όλη την από εκεί και μετά ακολουθία.»
    1) Πώς ορίζεις το μπλόκ;
    2) Γιατί Μ+1 όροι;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 5 Ιανουαρίου, 2020 @ 1:29 μμ

  3. 1) Αν οι τιμές των όρων της ακολουθίας είχαν μέγιστο το Μ, τότε παίρνοντας οποιαδήποτε (Μ+1)άδα συνεχόμενων όρων όλες οι τιμές των επόμενών της όρων θα καθορίζονταν χωρίς αναδρομή σε θέσεις m που βρίσκονται πριν τη συγκεκριμένη (Μ+1)άδα, αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο, θα προέκυπτε όρος μεγαλύτερος του Μ, πράγμα που υποθετικά έχουμε αποκλείσει.
    2) (Μ+1)άδα διότι αν ο τελευταίος όρος της έχει τιμή χ≤Μ, τότε ο αμέσως προηγούμενος όρος με τιμή χ πρέπει να βρίσκεται το πολύ Μ θέσεις πιο πίσω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 5 Ιανουαρίου, 2020 @ 3:16 μμ

  4. Στο 1) Θα καθορίζονταν χωρίς αναδρομή, εννοείς χωρίς να χρειαστεί να εξετάσουμε όρους πριν τη (Μ+1) άδα που κοιτάζουμε; Επίσης αντί m (αγγλικό) εννοείς μ (Ελληνικό) που είναι το μήκος της περιόδου όπως εξηγείς στο σχόλιο 1. ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 5 Ιανουαρίου, 2020 @ 7:29 μμ

  5. Στο 1) ακριβώς αυτό που γράφεις εννοώ.
    Το m που γράφω δηλώνει θέση όρου (δηλαδή τον m-οστό κατά σειρά), σύμφωνα με τον ορισμό που δίνεται τής ακολουθίας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 5 Ιανουαρίου, 2020 @ 8:09 μμ

  6. Κύριε Παπαδημητρίου, μπορεί κανείς νομίζετε να δείξει κατά πόσον υπάρχουν ή όχι, οπουδήποτε στην ακολουθία δύο διαδοχικοί όροι, που να είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί; Εάν εξαιρέσουμε το δεύτερο με τον τρίτο όρο της ακολουθίας που είναι.
    Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας που μελετάμε είναι: 0,0,1,0,2,0,2,2,1,6,0,5,\cdots

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 6 Ιανουαρίου, 2020 @ 12:30 μμ

  7. Κωνσταντίνε, αυτή η εναλλαγή από τον ενικό στον πληθυντικό με μπερδεύει κάπως😊, αλλά θα προσπαθήσω να απαντήσω:
    Αποκλείεται νομίζω, εκτός από την περίπτωση 0 και 1, να υπάρχουν και άλλοι διαδοχικοί όροι σε διαδοχικές θέσεις, π.χ. ο όρος χ στη θέση n και ο όρος χ+1 στη θέση n+1, διότι αυτό θα σήμαινε ότι αν στη θέση n-1 υπάρχει ο όρος ψ, τότε η αμέσως προηγούμενη εμφάνιση του ψ θα βρισκόταν χ θέσεις πριν από τη θέση n-1. Από την άλλη, αφού στη θέση n+1 θα υπήρχε ο όρος χ+1, θα έπρεπε η αμέσως προηγούμενη, σε σχέση με τη θέση n, εμφάνιση του όρου χ να βρίσκεται χ+1 θέσεις πριν από τη θέση n, δηλαδή στην ίδια θέση που θα υπήρχε όρος ψ. Αυτό θα μπορούσε να συμβεί μόνο αν ήταν χ=ψ, αλλά τότε θα είχαμε όρο χ και στη θέση n-1 και στη θέση n, οπότε στη θέση n+1 θα έπρεπε να έχουμε τον όρο n-(n-1)=1

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 6 Ιανουαρίου, 2020 @ 3:07 μμ

  8. Θα έλεγα είναι ο λεγόμενος πληθυντικός της ευγενείας, ο οποίος στους ακαδημαϊκούς χώρους μάλλον
    μοιάζει περισσότερο να είναι πληθυντικός της αποστάσεως δυστυχώς.
    Παρεμπιπτόντως συγχαρητήρια για τη πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης και για την απάντηση των ερωτημάτων μου. 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 6 Ιανουαρίου, 2020 @ 5:40 μμ

  9. Ευχαριστώ πολύ Κωνσταντίνε, πολύ όμορφο το πρόβλημα και τα ερωτήματά σου!
    Παρεμπιπτόντως, νομίζω ότι και το ζευγάρι (0,1) δεν εμφανίζεται σε δύο διαδοχικές θέσεις για δεύτερη φορά, μετά από την εμφάνισή του στις θέσεις 2 και 3, διότι αν στη θέση n υπάρχει ο όρος 0, τότε στη θέση n-1 θα υπάρχει πρωτοεμφανιζόμενος όρος (άρα όχι 0), επομένως στη θέση n+1 θα υπάρχει όρος μεγαλύτερος ή ίσος του 2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 6 Ιανουαρίου, 2020 @ 6:00 μμ

  10. Η ακολουθία αυτή έχει «απρόβλεπτη συμπεριφορά». Υπάρχει όμως η εικασία ότι lim sup \frac{a(n)}{n}=1. Διαισθητικά
    αυτό θα πει πως η ακολουθία αυξάνει γραμμικά, αλλά κανείς δε μπορεί να
    προσπαθήσει να το δείξει, μάλλον επειδή δεν υπάρχει η τεχνολογία. Κρίμα.. Ας ελπίσουμε να λύσουμε κάποια απ’αυτά τα προβλήματα πριν φύγουμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 7 Ιανουαρίου, 2020 @ 12:25 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: