Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 24, 2019

Υπεργεωμετρική

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:47 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Ένα δοχείο περιέχει A κόκκινες και N-A μπλε μπάλες. Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n, και έστω X ο αριθμός των κόκκινων μπαλών. Τότε λέμε ότι η X ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους N, A, n και γράφουμε X\sim\text{Hyp}(N,A,n). Αν X\sim\text{Hyp}(N,A,n) και \mathbb E(X)=1, δείξτε ότι \mathbb P(X=1)\geq\mathbb P(X\geq2).

3 Σχόλια »

  1. Η ανισότητα του Markov δίδει: \mathbb P(X\geq 2)\leq\frac{\mathbb E(X)}{2}=\frac{1}{2}. Από την άλλη, χρησιμοποιώντας
    τη συνάρτηση πυκνότητας της υπεργεωμετρικής: \mathbb P(X=1)=\frac{A \binom{N-A}{n-1}}{\binom{N}{n}}.
    Αν ο λόγος αυτός είναι πάντα μεγαλύτερος ή ίσος από \frac{1}{2}, όλα καλά.. Είναι όμως;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Οκτώβριος 26, 2019 @ 12:16 πμ

  2. Καλή η προσπάθεια, όμως δε πρόκειται να δουλέψει.
    Για να το δεις αυτό, παρατήρησε ότι η υπόθεση \mathbb{E}(X)=1 σημαίνει ότι N=n\cdot A.
    Επίσης, δεν είναι δύκολο να δεις ότι, για σταθεροποιημένο A, ισχύει \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(X=1) = \left(1-\frac{1}{A}\right)^{A-1}.
    Συνεπώς, αν A\ge 2 και το n είναι πολύ μεγάλο, έχουμε \mathbb{P}(X=1)\approx \left(1-\frac{1}{A}\right)^{A-1} < 1/2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Οκτώβριος 26, 2019 @ 1:31 πμ

  3. Αυτό σημαίνει πως η Markov, «δε λέει πολλά» – δεν είναι αρκετά ισχυρή, για τη συγκεκριμένη άσκηση;
    Εσείς έχετε κατά νου διαφορετική προσέγγιση;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Νοέμβριος 8, 2019 @ 11:23 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: