Προβλήματα Μαθηματικών

9 Φεβρουαρίου, 2019

Διάσπαση ακολουθίας

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:03 μμ

To πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Λέμε ότι μια ακολουθία φυσικών a_n χωρίς άσους επιδέχεται διχοτόμηση αν υπάρχει κάποια άλλη ακολουθία (φυσικών) b_n τέτοια ώστε a_n=b_n+c_n, όπου c_n αναδιάταξη τής b_n. Πότε μια ακολουθία τριών όρων επιδέχεται διχοτόμηση;

5 Σχόλια »

  1. Η άσκηση αυτή είναι «εμπνευσμένη» από το άρθρο:

    Click to access Bisection%20of%20trees%20and%20sequences.pdf

    Φυσικά τίποτα δεν έχει να κάνει με τα ανοικτά ερωτήματα με τα οποία διαπραγματεύεται το άρθρο. Θα έλεγα πως είναι
    μια «warm up» άσκηση, που μου είχε αναφέρει κάποτε (στα παλιά χρόνια) ο επιβλέπων της πτυχιακής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 11 Φεβρουαρίου, 2019 @ 2:21 μμ

  2. Υπόδειξη: Να πάρουμε 2 περιπτώσεις. Στη πρώτη, η c_n είναι μετάθεση (transposition) δύο στοιχείων της b_n (οπότε
    ένα στοιχείο μένει αμετάθετο). Δεύτερη περίπτωση, η αναδιάταξη, αλλάζει τη σειρά των στοιχείων της b_n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Φεβρουαρίου, 2019 @ 11:42 μμ

  3. Στην πρώτη περίπτωση της υπόδειξης τα πράματα είναι απλά, a_1=2b_1 ~,~ a_2=a_3=b_2+b_3 . Οπότε ικανή και αναγκαία συνθήκη να έχω έναν όρο ζυγό και οι άλλοι δύο να είναι ίσοι.

    Στην δεύτερη αν γράψουμε τις ισότητες για τα a_n
    a_1 = b_1 + b_2 ~,~ a_2 = b_2+b_3 ~,~ a_3=b_3+b_1

    και μετά λύσουμε ως προς b_n παίρνουμε
    b_1 = \dfrac{a_1 - a_2 + a3}{2} ~,~ b_2 = \dfrac{a_1 + a_2 - a3}{2} ~,~ b_3 = \dfrac{ - a_1 + a_2 + a3}{2}

    Άρα για να είναι τα b_n φυσικοί αρκεί να είναι το άθροισμα των a_n ζυγό και να είναι το μεγαλύτερο από τα a_n μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο (τριγωνική ανισότητα).
    Η συνθήκη μπορούμε να δείξουμε εύκολα ότι εκτός από ικανή είναι και αναγκαία.

    και μετά λύσουμε ως προς b_n παίρνουμε
    b_1 = \dfrac{a_1 - a_2 + a3}{2} ~,~ b_2 = \dfrac{a_1 + a_2 - a3}{2} ~,~ b_3 = \dfrac{ - a_1 + a_2 + a3}{2}

    Άρα για να είναι τα b_n φυσικοί αρκεί να είναι το άθροισμα των a_n ζυγό και να είναι το μεγαλύτερο από τα a_n μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο (τριγωνική ανισότητα).
    Η συνθήκη μπορούμε να δείξουμε εύκολα ότι εκτός από ικανή είναι και αναγκαία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — 18 Οκτωβρίου, 2019 @ 5:20 μμ

  4. Πολύ ωραία!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Οκτωβρίου, 2019 @ 11:09 μμ

  5. Πότε μια ακολουθία με 4 όρους επιδέχεται bisection; Μπορούμε και εδώ να βρούμε ικανές ή/και αναγκαίες συνθήκες;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 9 Μαρτίου, 2020 @ 5:38 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: