Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 16, 2018

Breakeven

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:44 πμ

 

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελέκης.

Η Alice και ο Bob παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Πριν ξεκινήσουν, ο Bob καταβάλλει στην Alice το ποσό των \delta USD. Στη συνέχεια, η Alice διαλέγει κρυφά ένα υποσύνολο A\subset[0,1] με μέτρο a\in(0,1), και ο Bob διαλέγει επίσης κρυφά n σημεία \{x_1,\dots,x_n\}\subset[0,1]. Μετά οι παίκτες αποκαλύπτουν τις επολογές τους, και η Alice καταβάλλει στον Bob το ποσό |\{k:x_k\in A\}| USD. Ποια τιμή τού \delta κάνει το παιχνίδι δίκαιο;

Advertisements

37 Σχόλια »

  1. Το μέτρο του συνόλου που επιλέγει η Αλίκη, καθώς και το πλήθος των σημείων που επιλέγει ο Βρασίδας είναι αυθαίρετα
    και ανεξάρτητα του \delta; Έπειτα η Αλίκη θα καταβάλει πίσω σε νομίσματα το πλήθος των σημείων που επέλεξε ο Βρασίδας,
    που να ανείκουν στο σύνολο που επέλεξε αυτή. Παράξενο που αν και δεν εξαρτάται από όλους αυτούς τους παράγοντες, υπάρχει όμως μια συγκεκριμένη
    τιμή του \delta που κάνει το παιχνίδι «δίκαιο».

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 16, 2018 @ 12:36 μμ

  2. Ναι, το a και το n δεν εξαρτώνται του \delta. Το \delta όμως εξαρτάται των a,n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 16, 2018 @ 12:47 μμ

  3. 2: Δυστυχώς, δεν κατάλαβα. Μου φαίνεται λογικό \alpha να εξαρτάται του \delta, αφού η Αλίκη γνωρίζει το ποσό
    που της καταβάλλει ο Bob. Τα σημεία που διαλέγει ο Bob, είναι αριθμήσιμα στο πλήθος (φαντάζομαι αυτή θα είναι η πρώτη
    εύστοχη παρατήρηση που κάνει κανείς), οπότε στη «βέλτιστη» περίπτωση, υποθέτω, πως πρέπει να τα διαλέξει με ομοιόμορφο τρόπο
    στο [0,1]. Νομίζω πως δεν έχει νόημα να πούμε για το \delta ότι εξαρτάται από οτιδήποτε..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 19, 2018 @ 11:31 μμ

  4. Επίσης, νομίζω πως το παιχνίδι είναι δίκαιο ανν το πλήθος των σημείων που επιλέγει ο Bob που να ανήκουν στο σύνολο της Alice, είναι
    ακριβώς \delta, οπότε ουσιαστικά ο Bob παίρνει τα χρήματά του πίσω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 20, 2018 @ 12:11 πμ

  5. Νομίζω τώρα κατάλαβα τί εννοείτε στο 2. Ότι, για διαφορετικές τιμές των \alpha και $n$, διαφορετικό εν γένη \delta
    κάνει το παιχνίδι δίκαιο. Σωστά;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 20, 2018 @ 12:15 πμ

  6. Για διαφορετικές τιμές των \alpha και n, διαφορετικό εν γένει \delta κάνει το παιχνίδι δίκαιο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 20, 2018 @ 12:17 πμ

  7. Τα a,n είναι σταθεροποιημένα. Μπορείς, π.χ., να φανταστείς ότι a= 1/2, n = 10^{666}.
    Το γεγονός ότι το \delta εξαρτάται από τα a,n δεν είναι καθόλου περίεργο. Όσο πιο μεγάλο είναι το a, τότε τόσο πιο «εύκολο» είναι για τον Bob να επιλέξει σημεία που ανήκουν στο σύνολο της Alice και συνεπώς το ποσό που πρέπει να την πληρώσει πριν ξεκινήσει το παιγνίδι πρέπει να αυξηθεί.
    Αν, π.χ., επιτρεπόταν η περίπτωση a=1 και η Alice επέλεγε το σύνολο $A=[0,1]$, τότε όλα τα σημεία του Bob θα ανήκαν στο $A$ και η Alice θα του κατέβαλλε n δραχμές. Συνεπώς, για να ήταν το παιγνίδι δίκαιο για την Alice, θα έπρεπε \delta =n = n\cdot 1.

    Η απάντηση στα σχόλια 5 και 6 είναι: ναι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 20, 2018 @ 12:20 πμ

  8. Ίσως θα έπρεπε να γράψω δυο λόγια σχετικά με το τί σημαίνει η φράση «το παιγνίδι είναι δίκαιο».
    Οι παίκτες θα πρέπει να τυχαιοποιήσουν τον τρόπο που παίζουν. Αν αυτό ακούγεται περίεργο, φανταστείτε ότι οι παίκτες είναι αθάνατοι και ότι παίζουν το παιγνίδι επ᾽άπειρον. Αν, π.χ., η Alice παίζει συνέχεια το ίδιο σύνολο, τότε αργά ή γρήγορα ο Bob θα το ανακαλύψει και θα επιλέγει τα σημεία του στο σύνολο αυτό.
    Οπότε στόχος και των δύο παικτών είναι να κάνουν όσο το δυνατόν πιο «απρόβλεπτες» επιλογές.
    Ας πούμε ότι \sigma_1 είναι μια βέλτιστη (τυχαιοποιημένη) στρατηγική του Bob, και ας υποθέσουμε ότι αυτή η στρατηγική του εξασφαλίζει ότι σε κάθε παιγνίδι η Alice του καταβάλλει E_{1} δραχμές, κατά μέσο όρο.
    Φυσικά, το E_{1} εξαρτάται από τα a,n.
    Τότε το παιγνίδι είναι δίκαιο για τον Bob αν \delta = E_{1}.
    Ομοίως για την Alice. Αν \sigma_2 είναι μια βέλτιστη στρατηγική της που της εξασφαλίζει ότι σε κάθε παιγνίδι καταβάλλει E_2 δραχμές στον Bob, κατά μέσο όρο, τότε το παιγνίδι είναι δίκαιο για την Alice αν \delta = E_2.
    Το παιγνίδι είναι δίκαιο και για τους δύο παίκτες αν υπάρχουν στρατηγικές \sigma_1,\sigma_2 για τις οποίες ισχύει E_1 = E_2.
    Με δυο λόγια, όπως λέει και ο Κωνσταντίνος στο σχόλιο 4, το παιγνίδι είναι δίκαιο αν κάθε παίκτης (κατά μέσο όρο) παίρνει τα λεφτά του πίσω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 20, 2018 @ 12:49 πμ

  9. Δηλαδή αυτό που συμβαίνει τελικά, είναι ότι οι βέλτιστες στρατηγικές των δύο παικτών «αλληλοεξουδετερώνονται», έστω κι αν οι δυό τους προσπαθούν
    ο καθείς, με κάθε τρόπο, καθώς το παιχνίδι εξελίσσεται, να αποκτήσει πλεονέκτημα, έναντι του άλλου; Δηλαδή, νοουμένου ότι κανείς απ’τους δυο δεν
    δέχεται να χάσει, το παιχνίδι φθάνει σε equillibrium state, το \delta που καταβάλλει αρχικά ο Bob, ειδάλλως ο Bob (ας πούμε) θα χάσει, νοουμένου ότι η Alice
    έχει υποπτευθεί τη βέλτιστη στρατηγική του με το πέρασμα του χρόνου;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 26, 2018 @ 7:25 μμ

  10. Μπορείτε να μας δώσετε και μια υπόδειξη ως προς τί εργαλεία μπορούν να μας φανούν χρήσιμα σε μια προσπάθεια επίλυσης; (Ισως ζητάω πολλά..)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 26, 2018 @ 8:53 μμ

  11. Υποθέτουμε ότι οι παίκτες δεν αρέσκονται στο να χάνουν. Μπορείτε επίσης να υποθέσετε ότι είναι Θεοί, και συνεπώς είναι εξαιρετικά οξυδερκείς. Η λύση του προβλήματος δεν χρειάζεται κάτι «προχωρημένο». Ενδεχομένως θα βοηθούσε μια στοιχειώδης εξοικείωση με τη θεωρία παιγνίων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 26, 2018 @ 9:05 μμ

  12. Υπάρχουν βοηθητικές σημειώσεις που έχετε υπόψιν όσον αφορά εισαγωγή στη μαθηματική θεωρία παιγνίων;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 26, 2018 @ 10:05 μμ

  13. Υπόδειξη: Το \delta ισούται με n \cdot a.

    Πώς πρέπει να παίξει ο Bob ώστε να εξασφαλίσει ότι το αναμενόμενο ποσό που του καταβάλλει η Alice ισούται με n\cdot a;
    Πώς πρέπει να παίξει η Alice ώστε να εξασφαλίσει ότι το αναμενόμενο ποσό που καταβάλλει στον Bob ισούται με n\cdot a;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 26, 2018 @ 10:25 μμ

  14. Έχω την εντύπωση πως θα το δείξουμε χρησιμοποιώντας ιδιότητες της μέσης τιμής (π.χ γραμμικότητα) σε συνδυασμό με δείκτριες συναρτήσεις.
    Αν ναι, έχει καλός. Ειδάλλως, δεν γνωρίζω game theory..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 27, 2018 @ 6:37 μμ

  15. Οι μέρες ανήκουν στα παίγνια, τυχερά ή μη, οπότε μαζί με τις ευχές μου θα τολμήσω ένα σχόλιο:
    Η καλύτερη στρατηγική και για τους δύο θα ήταν πιστεύω να αφήσουν την καθαρή τύχη να αποφασίσει αντί για τους ίδιους (διότι αλίμονο στον καθένα τους αν ο άλλος υποψιαστεί κάτι..). Αυτό σημαίνει ότι η μεν Alice θα ορίσει ως αρχή του διαστήματός της έναν τυχαίο αριθμό στο διάστημα (0, 1-α), ο δε Bob θα επιλέξει διαδοχικά n τυχαίους αριθμούς στο διάστημα (0,1).
    Καλή χρονιά με υγεία και τύχη σε όλους τους φίλους!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Δεκέμβριος 29, 2018 @ 8:25 μμ

  16. Καλοδεχούμενο το σχόλιο, ανταποδίδω τις ευχές!

    Η στρατηγική του Bob, που προτείνεις, έχει την ιδιότητα ότι το αναμενόμενο ποσό που του καταβάλλει η Alice ισούται με n\cdot a, για οποιαδήποτε επιλογή συνόλου A\subset [0,1] μέτρου a της Alice.

    Όμως η στρατηγική της Alice, που προτείνεις, δεν έχει την ιδιότητα ότι το αναμενόμενο ποσό που καταβάλλει στον Bob ισούται με n\cdot a, για οποιαδήποτε επιλογή σημείων \{x_1,\ldots,x_n\} του Bob.
    Για να το δεις αυτό ας υποθέσουμε ότι a =1/2 + \epsilon, για κάποιο πολύ μικρό \epsilon >0.
    Αν η Alice παίζει όπως προτείνεις, τότε ο Bob θα επιλέξει τα σημεία \{1/2, 1/2+ \epsilon_1,\ldots,1/2+\epsilon_{n-1}\},
    όπου τα έψιλον είναι πολύ-πολύ μικρά, και συνεπώς η Alice θα πρέπει να του καταβάλλει n δραχμές.

    Η Alice έχει καλύτερη στρατηγική, και δεν είσαι πολύ μακρυά από το να την ανακαλύψεις..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 29, 2018 @ 9:29 μμ

  17. Σωστά, στην περίπτωση α=1/2, μού φαίνεται πως η Alice θα ήταν καλύτερα να επέλεγε με πιθανότητα 1/2 το διάστημα (0,1/2) ή με πιθανότητα επίσης 1/2 το διάστημα (1/2,1).
    Για α=1/3 αντίστοιχα, να επέλεγε με πιθανότητες 1/3 έκαστο ένα από τα διαστήματα (0,1/3), (1/3,2/3), (2/3,1) κ.ο.κ.
    Αν όμως είναι α>1/2, τότε ποια στρατηγική θα είχε η Alice, αφού ο Bob γνωρίζοντας ότι η περιοχή 1/2 +/-ε ανήκει σίγουρα στο διάστημά της, θα συγκέντρωνε όλα του τα σημεία σε εκείνη τη στενή ζώνη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Δεκέμβριος 29, 2018 @ 11:29 μμ

  18. think modularly..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 29, 2018 @ 11:47 μμ

  19. 16: Τα ε_1, ε_2, ε_3, …, αποτελούν μια φθίνουσα ακολουθία από epsilons ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 30, 2018 @ 12:15 πμ

  20. Δεν έχει σημασία. Αρκεί να είναι διαφορετικά και γνησίως μικρότερα του \epsilon/n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 30, 2018 @ 12:18 πμ

  21. Συγνώμη, είχα την εντύπωση ότι τα προσθέτουμε τα έψιλον. Παρατήρησε ότι αν a=1/2 + \epsilon και η Alice παίζει όπως προτείνει ο Θανάσης στο σχόλιο 15, τότε κάθε διάστημα που επίλεγει η Alice περιέχει το διάστημα $\latex J=(1/2-\epsilon, 1/2+\epsilon)$. Οπότε αρκεί ο Bob να επιλέξει τα σημεία του εντός του J.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 30, 2018 @ 12:25 πμ

  22. Mea culpa, είχα θεωρήσει αυθαίρετα και εσφαλμένα ότι το σύνολο της Alice θα έπρεπε να είναι κάποιο ενιαίο συνεχές υποδιάστημα του (0,1). Εφόσον (αν το καταλαβαίνω σωστά τώρα) μπορεί να είναι ένωση περισσότερων του ενός υποδιαστημάτων αθροιστικού μήκους α, τότε υποθέτω ότι η Alice θα πρέπει κάπως να κόβει σε μικρότερα υποδιαστήματα το α και να τα σκορπίζει με έναν τυχαίο τρόπο μέσα στο (0,1).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Δεκέμβριος 30, 2018 @ 12:57 πμ

  23. Το καταλαβαίνεις πολύ σωστά. Αν, π.χ., a=1/2 η Alice θα μπορούσε να παίξει το σύνολο [0,1/4]\cup [3/4,1].
    Για να αποφευχθεί τυχόν παρανόηση, παρατήρησε ότι παίγνιο παίζεται στο [0,1], και όχι στο (0,1).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Δεκέμβριος 30, 2018 @ 1:07 πμ

  24. 23: Άρα, θα ήταν σωστό να πούμε πως αναλογιζόμαστε όλους τους δυνατούς τρόπους με τους οποίους γράφουμε το A
    (σαν το πολύ αριθμήσιμη) ένωση ξένων υποδιαστημάτων αθροιστικού μήκους \alpha και σε κάθε γύρο του παιχνιδιού η Alice
    διαλέγει uniformly at random ένα οποιοδήποτε από αυτά με ίση πιθανότητα; Αυτή είναι η βέλτιστη στρατηγική για την Alice;
    Έτσι δεν μπορεί να ξέρει apriori ο Bob πώς να κατανέμει τα σημεία του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Δεκέμβριος 31, 2018 @ 8:36 μμ

  25. Η ερώτησή σου είναι κάπως ασαφής. Το A είναι το σύνολο που επιλέγει η Alice. Όπως κι αν το γράψεις ως ένωση διαστημάτων, θα παραμείνει το ίδιο και συνεπώς δεν έχει νόημα να επιλέξει η Alice μία εκ των ενώσεων αυτών με οποιονδήποτε τρόπο..

    Υποθέτω εννοείς ότι κοιτάζεις το σύνολο \mathcal{F}_{a} που αποτελείται από όλες τις ενώσεις ξένων ανά δύο διαστημάτων του [0,1] το άθροισμα των μηκών των οποίων ισούται με a. Όμως τώρα δεν είναι σαφές τί σημαίνει η φράση «επιλέγω ένα στοιχείο του \mathcal{F}_a ομοιόμορφα».

    Σε κάθε περίπτωση, για να δείξεις ότι μια προτεινόμενη στρατηγική της Alice εξασφαλίζει ότι το αναμενόμενο ποσό που καταβάλλει στον Bob ισούται με n\cdot a, θα πρέπει να την δοκιμάσεις ενάντια σε μια αυθαίρετη (αλλά σταθεροποιημένη) επιλογή \{x_1,\ldots, x_n\}\subset [0,1] του Bob.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Ιανουαρίου 1, 2019 @ 3:12 πμ

  26. Περί του σχολίου 16: Γράφετε: Η στρατηγική του Bob, που προτείνεις (ο Θανάσης στο σχόλιο 15), έχει την ιδιότητα ότι το αναμενόμενο ποσό που του καταβάλλει
    η Alice ισούται με n\cdot a, για οποιαδήποτε επιλογή συνόλου A\subset [0,1] μέτρου a της Alice.
    Μπορείτε να μας το αιτιολογίσετε γιατί ισούτε με n\cdot a;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 2, 2019 @ 7:43 μμ

  27. Αν ο Bob επιλέξει n αριθμούς U_1,\ldots, U_n από το [0,1] ομοιόμορφα και ανεξάρτητα τότε, για οποιαδήποτε επιλογή συνόλου A μέτρου a της Alice, το ποσό που του καταβάλλεται ισούται με U :=  \sum_{i=1}^{n} I[U_i \in A], όπου I[U_i \in A] είναι η δείκτρια του ενδεχομένου \{U_i \in A\}. Συνεπώς \mathbb{E}[U] = n\cdot a.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Ιανουαρίου 2, 2019 @ 8:55 μμ

  28. Μια άλλη σκέψη είναι να θέσουμε κάποιες τυχαίες μεταβλητές που θα ορίσουν αυτές τα ξένα ανά δύο διαστήματά μας, το συνολικό μήκος των οποίων
    είναι a. Οι τυχαίες μεταβλητές π.χ.: V_1, \cdots, V_{2m} θα κυμαίνονται στο [0,1] και θα παίρνουν τιμές v_1,\cdots, v_{2m}.
    Οι τιμές αυτές, ομαδοποιούνται σε m ζεύγη (v_1,v_2),\cdots, (v_{2m-1},v_{2m}), που αυτά με τη σειρά τους αντιστοιχούν
    σε m διαστήματα. Η πρώτη συντεταγμένη έκαστου ζεύγους θα ορίζει την αρχή του αντίστοιχου διαστήματος και η δεύτερη το τέλος.

    Μπορώ να συστηματικοποιήσω τη πιο πάνω προσέγγιση λίγο περισσότερο ίσως, αν σε γενικές γραμμές, η στρατηγική αυτή της Alice είναι σωστή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 3, 2019 @ 11:30 μμ

  29. 22: Θανάση, σου πέρασε από το μυαλό να χρησιμοποιήσεις το θεώρημα του Bayes;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 10, 2019 @ 11:14 μμ

  30. Για να υπάρχει η ζητούμενη δίκαια ισορροπία στο παιχνίδι, νομίζω ότι συμφωνούμε πως δεν πρέπει κάποιος παίκτης να εκδηλώνει προτίμηση σε συγκεκριμένα υποδιαστήματα ή σημεία του [0,1] σε βάρος άλλων, πράγμα που θα επέτρεπε στον άλλον παίκτη να κερδίζει συστηματικά, απαντώντας κατάλληλα. Δε βλέπω λοιπόν σε τι ακριβώς θα μπορούσε να είναι χρήσιμος ο Bayes..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Ιανουαρίου 11, 2019 @ 10:00 πμ

  31. Ναι, αλλά κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας έχει μέτρο μηδέν. Είμαι προβληματισμένος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 11, 2019 @ 1:37 μμ

  32. Σεβαστό, αλλά δεν ξέρω πώς θα μπορούσε να βοηθήσει ο Bayes σε αυτό. Η ουσία των δύο στρατηγικών ισορροπίας, όπως τουλάχιστον τις αντιλαμβάνομαι ο ίδιος, είναι ότι αφενός καθένα από τα η σημεία του [0,1] που επιλέγει ο Bob πρέπει να έχει πιθανότητα ακριβώς ίση με α ώστε να περιέχεται στο σύνολο της Alice και αφετέρου το σύνολο της Alice πρέπει να έχει πιθανότητα ακριβώς ίση με α ώστε να περιέχει οποιοδήποτε σημείο του [0,1], συνεπώς και οποιοδήποτε από τα σημεία του Bob. Έτσι ο μεν Bob αναμένει να βρίσκει με η*α=δ από τα η σημεία του το σύνολο της Alice, η δε Alice αναμένει να πιάνει με το σύνολό της η*α=δ από τα η σημεία του Bob (συνεπής στοίχιση προσδοκιών).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Ιανουαρίου 11, 2019 @ 3:41 μμ

  33. 32: Έχεις υπόψιν λεπτομερή περιγραφή του τρόπου που ωφείλουν να παίξουν οι δυό τους που να καθιστά το παιχνίδι δίκαιο. Να το συστηματικοποιήσουμε περισσότερο δηλαδή..
    Τί εμποδίζει/ή πόσο μακριά νομίζεις είσαι από τη λύση; Πιστεύεις πως η μέση τιμή του E_1 και E_2 (δες σχόλιο 8), μπορεί να εκφραστεί σαν
    άθροισμα κάποιων δείκτριων τυχαίων μεταβλητών;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 11, 2019 @ 10:06 μμ

  34. Ίσως η συνεχής εκδοχή του Bayes να έχει κάτι να πει. Έκανα μια αναζήτηση και βρήκα αυτές της σημειώσεις:
    https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2014/readings/MIT18_05S14_Reading13a.pdf
    Δες τη σελίδα 5 για τον τύπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 11, 2019 @ 11:29 μμ

  35. Θα βοηθούσε έχω την εντύπωση αν γράφαμε το σύνολο ως εξής: \displaystyle{A=\bigcup_{k=1}^{n}{A_k}=\bigcup_{k=1}^{n}{\Big[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\Big)}}.
    Για καθένα από αυτά τα n ξένα ανά δύο υποδιαστήματα, η Alice θα κατανέμει τυχαία κάποιο μέρος του συνόλου της.
    Έπειτα να ορίσουμε n δείκτριες τυχαίες μεταβλητές που θα μας υποδεικνύουν κατά πόσο ο Bob επέλεξε το x_1 \in A_1 κ.τ.λ.π.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 12, 2019 @ 1:43 πμ

  36. Η Alice θα διαλέγει επίσης n τυχαίους, strictly positive
    αριθμούς, c_1,\cdots,c_n με άθροισμα 1.
    Στο πρώτο υποδιάστημα A_1, θα σκορπίζει με τυχαίο τρόπο ένα ποσοστό μέτρου ίσο με c_1 a, μέχρι και το
    τελευταίο υποδιάστημα A_n, όπου θα σκορπίζει ποσοστό μέτρου ίσο με c_n a.
    Ο τρόπος που θα τα σκορπίζει, είναι (όπως εξηγεί ο Αθανάσιος στο 15), να ορίζει ως αρχή του υποδιαστήματος A_k ένα
    τυχαίο αριθμό στο \displaystyle{\Big[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}-c_k a\Big]}. Ο Bob φαντάζομαι, δεν μπορεί να υποψιαστεί κάτι,
    οπότε το καλύτερο που έχει να κάνει είναι να επιλέγει ομοιόμορφα και ανεξάρτητα n σημεία στο [0,1].

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιανουαρίου 13, 2019 @ 12:24 πμ

  37. 32: Αν γράψουμε το A σαν την ένωση των τομών A_k, δε θυμίζει Bayes ; Οπότε η στρατηγική της Alice μπορεί να
    χρησιμοποιεί τον τύπο Bayes !!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Φεβρουαρίου 12, 2019 @ 11:17 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: